Question

8．如圖所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A到B長度為16m，傳送帶以10m/s的速度轉動．在傳送帶上端A處由靜止放一個質量為2kg的小煤塊，它與傳送帶之間的動摩擦因數為0.5．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s²）則當皮帶輪處于下列情況時，
（1）皮帶順時針轉動時，求煤塊從A運動到B所用時間；
（2）皮帶逆時針轉動時，求煤塊到達B點時的速度大小；
（3）皮帶逆時針轉動時，煤塊在傳送帶上留下的痕跡長度．

Answer 1

分析 （1）輪子沿順時針方向轉動時，傳送帶作用于小物體的摩擦力沿傳送帶向上，根據牛頓第二定律求出物體的加速度，結合運動學公式求出速度達到傳送帶速度時的時間和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑動摩擦力，速度相等后，滑動摩擦力沿斜面向上，結合位移時間公式求出剩余段勻加速運動的時間，從而得出物體從A運動到B的時間；
（2）物體剛放上傳送帶，摩擦力的方向沿傳送帶向下，根據牛頓第二定律求出物體的加速度，結合運動學公式求出速度達到傳送帶速度時的時間和位移，由于重力沿斜面方向的分力大于滑動摩擦力，速度相等后，滑動摩擦力沿斜面向上，根據牛頓第二定律求出物體的加速度，結合位移時間公式求出剩余段勻加速運動的時間，根據速度時間公式求出煤塊到達B點時的速度大小；
（3）第一階段炭塊的速度小于皮帶速度，炭塊相對皮帶向上移動；第二階段，炭塊的速度大于皮帶速度，炭塊相對皮帶向下移動；根據運動學公式求解相對位移．

解答 解：（1）輪子沿順時針方向轉動時，傳送帶作用于小物體的摩擦力沿傳送帶向上，物體的受力情況如圖所示．

物體由靜止加速，由牛頓第二定律可得
mgsin θ-μmgcos θ=ma₁
解得：a₁=2 m/s²，由于mgsinθ＞μmgcosθ，物體受滑動摩擦力一直向上，
則物體從A端運動到B端的時間t=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s．
（2）皮帶沿逆時針方向轉動時，傳送帶作用于小物體的摩擦力沿傳送帶向下，物體的受力情況如圖所示．

物體由靜止加速，由牛頓第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma₂
解得：a₂=10 m/s²
物體加速到與傳送帶速度相同需要的時間為
t₁=$\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{10}{10}$s=1 s
物體加速到與傳送帶速度相同時發生的位移為
s=$\frac{1}{2}$a₂t₁²=$\frac{1}{2}$×10×1² m=5 m
由于μ＜tan θ（μ=0.5，tan θ=0.75），物體在重力作用下將繼續加速運動，物體的速度大于傳送帶的速度，傳送帶給物體的摩擦力沿傳送帶向上，物體加速度為a₃=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=2 m/s²
設后一階段物體滑至底端所用時間為t₂，由運動學公式有
L-s=vt₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²
解得t₂=1s
則煤塊到達B點時的速度大小v′=a₂t₁+a₃t₂=10×1+2×1=12m/s
（2）第一階段炭塊的速度小于皮帶速度，炭塊相對皮帶向上移動，炭塊的位移為：
x=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{100}{2×10}$=5m
傳送帶的位移為x′=vt=10×1=10m，故炭塊相對傳送帶上移5m，
第二階段炭塊的速度大于皮帶速度，炭塊相對皮帶向下移動，炭塊的位移為：
x₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₃t₂²=10×2+$\frac{1}{2}$×2×2²=24m
傳送帶的位移為20m，所以相對于傳送帶向下運動4m，
故傳送帶表面留下黑色炭跡的長度為5m
答：（1）皮帶順時針轉動時，煤塊從A運動到B所用時間為4s；
（2）皮帶逆時針轉動時，煤塊到達B點時的速度大小為12m/s；
（3）皮帶逆時針轉動時，煤塊在傳送帶上留下的痕跡長度為5m．

點評 從此例題可以總結出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發生在物體的速度與傳送帶速度相等的時刻．要理清物體的運動規律，結合運動學公式和牛頓第二定律進行求解．