Question

三角形的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c．
（I）求C角的大小
（Ⅱ）若a=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）根據cos（A-C）+cosB=1，可得cos（A-C）-cos（A+C）=1，展開化簡可得2sinAsinC=1，由a=2c，根據正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式，即可求得C角的大小
（Ⅱ）確定A，進而可求b，c，利用三角形的面積公式，可求△ABC的面積．

解答：解：（I）因為A+B+C=180°，所以cos（A+C）=-cosB，
因為cos（A-C）+cosB=1，所以cos（A-C）-cos（A+C）=1，
展開得：cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=1，
所以2sinAsinC=1．
因為a=2c，根據正弦定理得：sinA=2sinC，
代入上式可得：4sin²C=1，所以sinC=

1

2

，
所以C=30°；
（Ⅱ）由（I）sinA=2sinC=1，∴A=

π

2

∵a=

2

，C=30°，∴c=

2

2

，b=

6

2

∴S_△ABC=

1

2

bc=

1

2

×

6

2

×

2

2

=

3

4

．

點評：本題考查正弦定理，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于基礎題．