Question

半徑分別為r和2r的兩個質量不計的圓盤，共軸固定連結在 一起，可以繞水平軸O無摩擦轉動，大圓盤的邊緣上固定有一個質量為m的質點，小圓盤上繞有細繩，繩的另一端通過一個可繞光滑水平軸轉動的輕定滑輪懸掛一個質量也為m的物體．開始時托住物體讓圓盤靜止，質點處在水平軸O的正下方位置．放開物體，兩圓盤轉動，當兩圓盤轉過的角度θ時，質點m的速度為

8gr(θ+2cosθ-2) 5

；若將物體除去，改為以水平恒力F拉細繩，使兩圓盤轉動，若恒力 F=mg，兩圓盤轉過的角度θ=

π

6

時，質點m的速度最大．若圓盤轉過的最大角度θ=π/3，則此時恒力F=

3mg

π

．

Answer 1

分析：當兩圓盤轉過的角度θ時，兩個物體構成的系統減小的重力勢能等于增加的動能，根據機械能守恒定律列式求解；當F的力矩大于mg的力矩時，質點m的速度增大，當F的力矩小于mg的力矩時，質點m的速度減小，則當兩者力矩相等時，質點m的速度最大．根據力矩平衡條件列方程求解．再能量守恒定律求解F．

解答：解：設質點的速度為v，同軸轉動角速度相等，根據公式v=rω，則物體的速度為0.5v；
當兩圓盤轉過的角度θ時，兩個物體構成的系統減小的重力勢能等于增加的動能，根據機械能守恒定律，有：
mg?rθ-mg?2r（1-cosθ）=

1

2

mv2+

1

2

m(0.5v)2；
解得：v=

8gr(θ+2cosθ-2) 5

；
當F的力矩等于mg的力矩時，質點m的速度最大．
則有Fr=mg?2rsinθ
又F=mg
解得θ=

π

6

根據能量守恒定律得
F?

π

3

r=mg?2rcos

π

3

解得F=

3mg

π

本題答案是：

8gr(θ+2cosθ-2) 5

，

π

6

，

3mg

π

．

點評：本題關鍵在于分析什么時候質點的速度最大，要根據力矩的作用使物體產生轉動來分析；同時要能結合功能關系和能量守恒定律列方程求解．