Question

如圖的環狀軌道處于豎直面內，它由半徑分別為R和2R的兩個半圓軌道、半徑為R的兩個四分之一圓軌道和兩根長度分別為2R和4R的直軌道平滑連接而成．以水平線MN和PQ為界，空間分為三個區域，區域Ⅰ和區域Ⅲ有磁感應強度為B的水平向里的勻強磁場，區域Ⅰ和Ⅱ有豎直向上的勻強電場．一質量為m、電荷量為+q的帶電小環穿在軌道內，它與兩根直軌道間的動摩擦因數為μ（0＜μ＜1），而軌道的圓弧形部分均光滑．將小環在較長的直軌道CD下端的C點無初速釋放（已知區域Ⅰ和Ⅱ的勻強電場場強大小為E=

2mg

q

，重力加速度為g），求：
（1）小環在第一次通過軌道最高點A時速度vA的大小；
（2）小環在第一次通過軌道最高點A時受到軌道壓力？
（3）若從C點釋放小環的同時，在區域Ⅱ再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強電場，其場強大小為E′=

mg

q

，則小環在兩根直軌道上通過的總路程多大？

Answer 1

分析：（1）小環從C到A，洛倫茲力不做功，重力做負功，電場力做正功．小環對直軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力．根據動能定理求解v_A．
（2）小環在第一次通過軌道最高點A時，受到軌道的彈力F_N，重力mg，洛倫茲力qv_AB，電場力qE，四個力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道的壓力．
（3）由于0＜μ＜1，小環在直桿受到的重力與電場力的合力向上，大于滑動摩擦力μmg，則小環必能通過A點．分三種討論研究：①小環恰好停在K點，②有可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點，③在D與D′點之間振動，小環在D或D′點速度為零．滑動摩擦力做功與路程有關，根據動能定理求解路程．

解答：解：（1）從C到A，洛倫茲力不做功，小環對直軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力．由動能定理，有：
       qE?5R-mg?5R=

1

2

m

v

2 A

  可得：v_A=

10gR

  
    （2）過A點時，研究小環，由受力分析和牛頓第二定律，有：
     F_N+mg-qv_AB-qE=m

v 2 A

R

  解得  F_N=11mg+qB

10gR

  方向向下 
    （3）由于0＜μ＜1，小環必能通過A點，以后有三種可能：
①有可能第一次過了A點后，恰好停在K點，則在直軌道上通過的總路程為：S_總=4R
②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點，對整個運動過程，由動能定理，有：qE?3R-mg?3R-μqE′S_總=0   得：s_總=

3R

μ

③還可能最終在D或D′點速度為零（即在D與D′點之間振動），由動能定理，有：
   qE?4R-mg?4R-μqE′S_總=0得：s_總=

4R

μ

答：（1）小環在第一次通過軌道最高點A時速度v_A的大小=

10gR

；
   （2）小環在第一次通過軌道最高點A時受到軌道壓力為11mg+qB

10gR

，方向向下．
   （3）①有可能第一次過了A點后，恰好停在K點，S_總=4R；
        ②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點，s_總=

3R

μ

        ③還可能最終在D或D′點速度為零（即在D與D′點之間振動），s_總=

4R

μ

．

點評：本題第（1）、（2）兩問是常規題，是動能定理和向心力結合處理．第（3）問比較難，要分析小環最終可能停止的位置，考查分析推理能力，也是高考命題立意的重點．