Question

12．在傾角為30°的斜面底端，木塊A以某一速度沿斜面向上運動，若木塊與斜面間的動摩擦因數為$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，試求：
（1）木塊A在斜面上向上運動時的加速度的大小及方向；
（2）木塊A在斜面上離開出發點時和回到出發點時的動能之比．

Answer 1

分析 （1）物塊在斜面上向上運動時受到重力、支持力和滑動摩擦力作用，根據力的合成和分解求出物塊所受合力，從而根據牛頓第二定律求出加速度；
（2）物體塊在上滑和下滑的過程中摩擦力做功等于物塊動能的變化，從而可以求出物體返回到出發點時的動能，即得出初末動能之比．

解答 解：（1）物塊A在斜面上向上運動時物塊受力如圖所示：

由圖知物塊所受合力：F_合=mgsinθ+μmgcosθ
根據牛頓第二定律有：a₁=$\frac{{F}_{合}}{m}$=gsinθ+μgcosθ=7.5m/s²
方向沿斜面向下．
（2）同理，當物塊沿斜面向下運動時，所受摩擦力沿斜面向上，則此時
  a₂=gsinθ-μgcosθ=2.5m/s²
令物塊初速度為v，則物塊的初動能為：
   E_k0=$\frac{1}{2}$mv²
物塊在斜面上上升的最大距離 x=$\frac{0-{v}^{2}}{-2{a}_{1}}$=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
物塊上升和下滑的整個過程中只有摩擦力對物塊做負功，根據動能定理有
-2μmgcosθx=E_K-$\frac{1}{2}$mv²；
代入數據得：回到出發點時的動能 E_K=$\frac{1}{6}$mv²；
所以$\frac{{E}_{k0}}{{E}_{K}}$=$\frac{3}{1}$
答：
（1）木塊A在斜面上向上運動時的加速度的大小為7.5m/s²，方向沿斜面向下．
（2）木塊A在斜面上離開出發點時和回到出發點時的動能之比是3：1．

點評 正確的對物體進行受力分析，能根據力的合成求解物體的加速度，能熟練運動用動能定理求物體動能的變化和根據動能的變化求外力對物體所做的功是解決本題的關鍵．