Question

3．如圖所示，長為L的均勻輕質細桿OA，一端通過光滑鉸鏈固定在地面O處，在細桿中點B處固定一質量為m的圓環，環上系一根細繩，細繩繞過兩個光滑定滑輪后懸掛著物體D，物體D的質量為$\frac{1}{3}$m，D離滑輪足夠遠．在外力F的作用下使細桿與地面保持夾角θ為60°，此時細繩CB與桿的夾角也為60°．求：
（1）外力F的最小值．
（2）撤去外力F后，細桿從圖示位置繞O點轉動至小環B與物體D速度大小相等的過程中，系統重力勢能的變化量．
（3）撤去外力F后，細桿繞O點轉到地面前的瞬間，物體D的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據力矩平衡條件，當力臂最長時，外力最小．當F作用在A點且與桿垂直斜向上時，F最小．由力矩平衡條件求出F最小值．
（2）撤去外力F后，細桿從圖示位置到繞O點轉動，物體D上升重力勢能增大，圓環下降，重力勢能減小，根據幾何知識求出D上升的高度和B下降的高度，進而求出系統（指圓環和物體D）重力勢能的變化量．
（3）根據圓周運動知識，研究細桿繞O點轉到地面的瞬間桿的角速度與物體D速度的關系，根據機械能守恒定律列方程求解．

解答 解：（1）要使F最小，F必須作用于A點，且方向垂直于桿斜向上．以O點為支點．
根據力矩平衡條件M_順=M_逆得
   FL+$\frac{1}{3}$mgsin60°$\frac{L}{2}$=mg•$\frac{L}{2}$cos60°
解得 F=$\frac{mg}{4}$-$\frac{\sqrt{3}mg}{12}$
（2）由幾何知識可得：CO=2×$\frac{L}{2}$cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L
當系在B點的繩子與桿垂直時，小環B與物體D速度大小相等，設此時桿與水平方向的夾角為α．
則sinα=$\frac{BO}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
則系統重力勢能的變化量△E_p=-W_G=mg（cosα-$\frac{L}{2}$）-$\frac{1}{3}$mg•$\frac{L}{2}$（sin60°-sinα）
解得△E_p=（$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}-2}{12}$）mgL
（3）系統動能定理  W_合=△E_K得
  W_G1+W_G2=△E_K
即：mgcos30°•$\frac{L}{2}$-$\frac{mg}{3}$（L-$\frac{L}{2}$）=$\frac{1}{2}•\frac{m}{3}{v}^{2}$+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
又有 v=v′cos30°
聯立解得：細桿繞O點轉到地面前的瞬間，物體D的速度 v=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-2}{10}gL}$
答：
（1）外力F的最小值是$\frac{mg}{4}$-$\frac{\sqrt{3}mg}{12}$．
（2）撤去外力F后，細桿從圖示位置繞O點轉動至小環B與物體D速度大小相等的過程中，系統重力勢能的變化量是（$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}-2}{12}$）mgL．
（3）撤去外力F后，細桿繞O點轉到地面前的瞬間，物體D的速度大小為$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-2}{10}gL}$．

點評 本題是連接體問題，關鍵要分析兩個物體速度的關系，要抓住兩個物體沿繩子方向的分速度大小相等．對系統運用動能定理時，要由幾何知識求出圓環下降的高度．