Question

【題目】渦流制動是磁懸浮列車在高速運行時進行制動的一種方式。某研究所制成如圖甲所示的車和軌道模型來模擬磁懸浮列車的渦流制動過程，模型車的車廂下端安裝有電磁鐵系統，能在長為，寬的矩形區域內產生豎直方向的勻強磁場，磁感應強度大小為、方向豎直向下；將長大于，寬也為的單匝矩形線圈，等間隔鋪設在軌道正中央，其間隔也為，每個線圈的電阻為，導線粗細忽略不計。在某次實驗中，當模型車的速度為時，啟動電磁鐵系統開始制動，電磁鐵系統剛好滑過了個完整的線圈。已知模型車的總質量為，空氣阻力不計，不考慮磁感應強度的變化引起的電磁感應現象以及線圈激發的磁場對電磁鐵的影響。求：

（1）剎車過程中，線圈中產生的總熱量；

（2）電磁鐵系統剛進入第（）個線圈時，模型車的加速度的大小；

（3）某同學受到上述裝置的啟發，設計了進一步提高制動效果的方案如圖乙所示，將電磁鐵換成個相同的永磁鐵并在一起的永磁鐵組，兩個相鄰的磁鐵磁極的極性相反；且將線圈改為連續鋪放，相鄰線圈緊密接觸但彼此絕緣，若永磁鐵激發的磁感應強度大小恒定為，模型車質量為，模型車開始減速的初速度為，試計算該方案中模型車的制動距離。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：剎車過程中，線圈的動能轉化為內能，根據能量守恒定律求解總熱量Q；設電磁鐵系統剛進入第k個線圈時速度為v，根據動量定理列式。結合法拉第電磁感應定律、歐姆定律得到電流的平均值，求得v，再求得安培力的大小，即可根據牛頓第二定律求得加速度a。根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式求得每個磁鐵受到的阻力，再求解模型車的制動距離x。

（1）根據能量守恒定律

（2）設電磁鐵系統剛進入第k個線圈時，速度為v

根據動量定理

根據法拉第電磁感應定律，有

根據閉合電路歐姆定律

根據法拉第電磁感應定律

根據閉合電路歐姆定律

線圈所受安培力為

根據牛頓第三定律，電磁鐵系統所受力大小也為

根據牛頓第二定律

則

（3）當模型車的速度為時，每個線圈中產生的感應電動勢為

每個線圈中的感應電流為

每個磁鐵受到的阻力為

個磁鐵受到的阻力為

由第（2）問同理可得

解得