Question

如圖所示，在真空中的一直角坐標系xOy平面內，有一個質量為m、電量為+q的粒子（不計重力），從原點O沿y軸正方向以初速度v₀射入，為了使此粒子能夠沿圓弧軌道通過定點P（a，-b），可以在坐標系xOy平面內的某點固定一帶負電的點電荷，已知靜電力常數為k．求：
（1）該點電荷的固定在何處
（2）該點電荷的電量Q．

Answer 1

分析：（1）粒子做勻速圓周運動，圓心在OP連線的中垂線上；在O點時速度方向是切線方向，故圓心在OP的中垂線與x軸的交點上；
（2）根據電場力提供向心力列式求解即可．

解答：解：（1）粒子做勻速圓周運動，點O和點P是圓上的兩個點，故圓心在OP連線的中垂線上；
在O點時速度方向是切線方向，故圓心在x軸上；
故圓心在OP連線的中垂線與x軸的交點處；
（2）在圖中O′處固定一個帶負電的點電荷Q，使粒子在庫侖力作用下繞O′做勻速圓周運動，其軌道半徑為R．
由圖知θ=2α

根據幾何關系，有
tanα=

a

b

故tanθ=

2tanα

1-tan2α

=

2ab

a2-b2

又根據幾何關系，有tanθ=

b

a-R

故R=

a2+b2

2a

由牛頓第二定律得：k

Qg

R2

=m

v 2 0

R

解以上各式得：Q=

(a2+b2)m v 2 0

2akq

答：（1）該點電荷的固定在線段OP的中垂線與x軸的交點處；
（2）該點電荷的電量Q為

(a2+b2)m v 2 0

2akq

．

點評：本題主要結合圓周運動考查帶電粒子的運動，關鍵是能把運動的軌跡畫出，利用好幾何關系求解．