Question

五塊完全相同的長木板依次緊挨著放在水平地面上，每塊木板的長度為0.4 m，質量為0.6 kg。在第一塊長木板的最左端放置一質量為0.98 kg的小物塊。已知小物塊與長木板間的動摩擦因數為0.2，長木板與地面間的動摩擦因數為0.1，設最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。一顆質量為0.02 kg的子彈以150 m/s的水平速度擊中小物塊并立即與小物塊一起在長木板表面滑行，重力加速度g取10 m/s²。

（1）分析小物塊滑至哪塊長木板時，長木板才開始在地面上滑動。

（2）求物塊在整個運動過程中相對出發點滑行的最大距離。

Answer 1

解：（1）設子彈、小物塊、長木板的質量分別為m₀、M、m，子彈的初速度為v₀，子彈擊中小物塊后二者的共同速度為v₁，由動量守恒定律

m₀ v₀=(M+ m₀) v₁①

子彈擊中小物塊后物塊的質量為M′，且M′=M+ m₀．設當物塊滑至第n塊木板時，木板才開始運動μ₁M′g＞μ₂〔M′+(6-n+1)m〕g

②其中μ₁、μ₂分別表示物塊與木板間、木板與地面間的動摩擦因數。

由②式解得n＞5.3

即物塊滑上第六塊木板時，木板才開始在地面上滑動。

（2）設物塊剛滑上第六塊木板時的速度為v₂，每塊木板的長度為L，由動能定理

－μ₁ M′g×5L=M′v₂²－M′v₁²③

由①③式解得v₂=1 m/s④

物塊在第六塊木板表面做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動，假設物塊不能滑下第六塊木板，且經歷時間t后，物塊與木板能獲得相同的速度v₃，由動量定理

－μ₁ M′gt=M′v₃－M′v₂⑤

［μ₁ M′g－μ₂(M′+m)g］t=m v₃⑥

由⑤⑥式解得v₃=0.25 m/s⑦

在此過程中，物塊發生的位移為s₁，由動能定理

－μ₁ M′g s₁=M′v₃²－M′v₂²⑧

解得s₁=m＜0.4 m

即假設成立，物塊與木板獲得0.25 m/s的共同速度，之后共同向前勻減速運動s₂后靜止。

由動能定理

－μ₂ （M′+m）g s₂=－ (M′+m)v₃²⑨

解得s₂=m

所以物塊總共發生的位移s=5L+s₁+s₂

解得s≈2.27 m。