Question

如圖所示，可看成質點質量分別為m₁=1kg的物體A和m₂=2kg的物體B之間夾著一壓縮的輕、短彈簧，兩物體用細線綁著放在水平傳送帶上，物體與傳送帶間的動摩擦因數均為0.2，傳送帶兩端與光滑水平地面相切．某一時刻燒斷細線，同時傳送帶以v=3m/s的恒定速度沿順時針方向運動（忽略傳送帶加速和彈簧彈開的時間）．彈開時，A獲得的速度為v_A=4m/s，A、B距傳送帶兩端的距離如圖所示，（取g=10m/s²）求：

（1）彈開過程彈簧釋放的彈性勢能．
（2）A、B到達傳送帶兩端時的速度大小．
（3）若在傳送帶兩端外的水平地面上各固定放置一半徑相同的光滑豎直圓軌道，要使兩物體第一次沖上內圓軌道后都不脫離軌道，軌道半徑應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）A、B彈簧系統在彈開過程動量和能量守恒列出等式求解
（2）彈開后B做加速運動，彈開后A做減速運動，根據動能定理求解
（3）欲使A、B均不脫離軌道，有兩種情形：
①均能過軌道的最高點，②均不超過圓心等高處，根據牛頓第二定律和動能定理求解．

解答：解：（1）A、B、彈簧系統在彈開過程動量和能量守恒0=m₁v_A-m₂v_B
解得彈開后B的速度大小v_B=2m/s
Ep=

1

2

m1

v

2 A

+

1

2

m2

v

2 B

解得彈開過程彈簧釋放的彈性勢能E_p=12（J）
（2）彈開后B做加速運動，設B一直加速到右端，根據動能定理得
μm2glB=

1

2

m2

v

′2 B

-

1

2

m2

v

2 B

解得：

v

′ B

=3(m/s)
彈開后A做減速運動，設一直減速到左端，根據動能定理得
-μm1glA=

1

2

m1

v

′2 A

-

1

2

m1

v

2 A

解得：

v

′ A

=2

2

(m/s)
（3）欲使A、B均不脫離軌道，有兩種情形：
①均能過軌道的最高點，設恰能過最高點
mg=m

v 2 c

R

在最低點速度為v₀，最低到最高過程，
根據動能定理得：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 c

+2mgR
解得：R=

v 2 0

5g

因

v

′ A

＜

v

′ B

，故取A，解得R1=

v ′2 A

5g

=0.16(m)
②均不超過圓心等高處，設恰到圓心等高處：

1

2

m

v

′2 0

=mgR2
解得：R2=

v ′2 0

2g

因

v

′ A

＜

v

′ B

，故取B，
解得R2=

v ′2 B

2g

=0.45(m)
綜上：R≤0.16（m）或R≥0.45（m）
答：（1）彈開過程彈簧釋放的彈性勢能是12（J）．
（2）A、B到達傳送帶兩端時的速度大小分別是2

2

m/s和3m/s．
（3）若軌道半徑應滿足條件是R≤0.16（m）或R≥0.45（m）

點評：此題要求熟練掌握動能定理、系統動量守恒、牛頓第二定律、圓周運動等規律，包含知識點多，難度較大，屬于難題