Question

15．如圖所示，半徑為R的光滑圓環豎直放置，直徑MN為豎直方向，環上套有兩個小球A和B，A、B之間用一長為$\sqrt{3}$R的輕桿相連，小球可以沿環自由滑動，開始時桿處于水平狀態，已知A的質量為m，B球的質量為4m，重力加速度為g．
（1）由靜止釋放輕桿，求B球由初始位置到達N點時的速度大小；
（2）由靜止釋放輕桿，求B球由初始位置到達N點的過程中，輕桿對B球所做的功．

Answer 1

分析 （1）兩球組成的系統機械能守恒，由系統的機械能守恒和兩球速率相等的關系列式，求出B球到達N點時的速度．
（2）對B球，運用動能定理求解輕桿對B球做的功．

解答 解：（1）如圖，B球由初始位置到達N點時下降Rsin30°=$\frac{R}{2}$，由幾何關系可知A球上升2Rsin30°=R．
對于兩球組成的系統，只有重力做功，系統的機械能守恒，由機械能守恒定律得：
  4mg•$\frac{R}{2}$-mgR=$\frac{1}{2}$•4m${v}_{B}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
又 v_A=v_B                         
聯立解得 v_A=v_B=$\sqrt{\frac{2gR}{5}}$
（2）對B球，由動能定理得：
  4mg•$\frac{R}{2}$+W=$\frac{1}{2}$•4m${v}_{B}^{2}$
聯立解得：輕桿對B球做的功為：W=-$\frac{6}{5}$mgR
答：（1）B球由初始位置到達N點時的速度大小是$\sqrt{\frac{2gR}{5}}$．
（2）B球由初始位置到達N點的過程中，輕桿對B球做的功為-$\frac{6}{5}$mgR．

點評 本題要抓住系統的機械能守恒，但單個小球的機械能并不守恒，能運用動能定理求變力做的功．