Question

3．足夠長水平傳送帶以恒定速度v₀=5m/s運行．將一塊底面水平的粉筆輕輕地放到傳送帶上，粉筆與傳送帶動摩擦因數為0.25，1秒后因傳動裝置受到阻礙，傳送帶做勻減速運動，其加速度a₀=5m/s²，求最終粉筆在皮帶上留下的痕跡長．

Answer 1

分析 粉筆輕輕地放到傳送帶上，第1秒粉筆做勻加速直線運動，皮帶勻速運動，粉筆相對皮帶向左運動；1s后皮帶受阻，粉筆繼續勻加速，皮帶勻減速，粉筆相對皮帶向左運動；當粉筆速度等于傳送帶速度時，因為粉筆的加速度小于傳送帶的加速度的大小，粉筆相對皮帶開始向右運動，求出粉筆相對皮帶的位移即可求出痕跡長

解答 解：對粉筆，根據牛頓第二定律，有
μmg=ma
得$a=μg=0.25×10=2.5m/{s}_{\;}^{2}$
經1s粉筆速度${v}_{1}^{\;}=at=2.5×1m/s=2.5m/s$
粉筆位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{1}_{\;}^{2}=1.25m$
皮帶位移${x}_{2}^{\;}={v}_{0}^{\;}t=5×1m=5m$
此過程粉筆相對傳送帶的位移$l={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=5m-1.25m=3.75m$，方向向左
因皮帶受阻，做${a}_{0}^{\;}=5m/{s}_{\;}^{2}$的勻減速運動，經時間t′粉筆與皮帶速度相等
${v}_{1}^{\;}+at′={v}_{0}^{\;}-{a}_{0}^{\;}t′$
代入數據：v=2.5+2.5t′=5-5t′
解得：$t′=\frac{1}{3}s$      $v=\frac{10}{3}m/s$
在t′時間內，粉筆的位移${x}_{3}^{\;}={v}_{1}^{\;}t′+\frac{1}{2}at{′}_{\;}^{2}=\frac{35}{36}m$
皮帶的位移${x}_{4}^{\;}={v}_{0}^{\;}t′-\frac{1}{2}{a}_{0}^{\;}t{′}_{\;}^{2}$=$\frac{25}{18}m$
在t′時間內粉筆相對于傳送帶向左的位移$l′={x}_{4}^{\;}-{x}_{3}^{\;}=\frac{25}{18}m-\frac{35}{36}m=\frac{5}{12}m$
因${a}_{0}^{\;}＞a$，速度相等后，粉筆在傳送帶上繼續滑行，且皮帶比粉筆先停下，粉筆還能在皮帶上做相對滑動，粉筆相對皮帶滑動的距離
$l″={s}_{粉筆}^{\;}-{s}_{皮帶}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2a}-\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{0}^{\;}}$=$\frac{10}{9}m$
因為l″＜l+l′
所以粉筆在皮帶上留下的痕跡長$l+l′=3.75m+\frac{5}{12}m$=$\frac{25}{6}m$
答：最終粉筆在皮帶上留下的痕跡長$\frac{25}{6}m$

點評 該題是相對運動的典型例題，要認真分析兩個物體的受力情況，正確判斷兩物體的運動情況，要清楚兩者速度相等時后是否繼續發生相對滑動，兩者間的距離可根據運動學基本公式求解，難度適中．