Question

冬季滑雪是人們喜愛的運動，去年12月28日，鳥巢歡樂冰雪季正式全面開放，滑雪高臺位于奧林匹克中心區景觀大道東側，雪道傾角θ約10°左右．假設一愛好者和他的雪橇總質量m=75kg，沿足夠長的雪道向下滑去，已知他和雪橇所受的空氣阻力F與滑雪速度v成正比，比例系數k未知．從某時刻開始計時，測量得雪橇運動的v-t圖象如右圖中的曲線AD所示，圖中AB是曲線AD在A點（坐標為0、5）的切線，切線上一點B的坐標為（4、15），CD是曲線AD的漸近線．g取10m/s²．
（1）請畫出人和雪橇整體在下滑過程中的受力圖．
（2）試說明人和雪橇從t=0時刻開始，下滑過程中運動的特點．
（3）求空氣阻力F與滑雪速度v的比例系數k．

Answer 1

分析：（1）人和雪橇整體在下滑過程中受到重力、支持力、空氣阻力、摩擦阻力．
（2）從圖中可以看出，人和雪橇初速度為5m/s，圖象的斜率逐漸減小，所以加速度逐漸減小到0，最后勻速運動的速度為10m/s．
（3）從AB的斜率可知，在開始運動時雪橇的加速度大小，根據牛頓第二定律列式，由AD這條漸近線可知，10m/s為其運動的收尾速度，根據平衡條件列式，聯立方程即可求得比例系數k和動摩擦因數μ．

解答：解：（1）對人受力分析，受重力、支持力、空氣阻力、摩擦阻力．
如圖所示：

（2）初速度為5m/s，加速度逐漸減小到0的加速運動，最后勻速運動的速度為10m/s．
（3）從AB的斜率可知，在開始運動時雪橇的加速度大小為a=2.5 m/s²
即有：mgsinθ-kv-μmgcosθ=ma…①
由AD這條漸近線可知，10m/s為其運動的收尾速度（即勻速運動速度），
即有：mgsinθ=μmgcosθ+kv_m…②
①②兩式聯立，得：kv_m-kv=ma…③
將v=5m/s、v_m=10m/s代入后得k=37.5Ns/m．  
答：（1）如圖所示；
（2）人做初速度為5m/s、加速度逐漸減小到0的加速運動，最后勻速運動的速度為10m/s；
（3）空氣阻力F與滑雪速度v的比例系數k為37.5Ns/m．

點評：本題主要考查了牛頓第二定律及運動學基本公式的直接應用，要求同學們能根據圖象得出有效信息，能根據受力情況判斷運動情況，難度適中．