Question

冬季滑雪是人們喜愛的運動，去年12月28日，鳥巢歡樂冰雪季正式全面開放，滑雪高臺位于奧林匹克中心區景觀大道東側，雪道傾角θ=37⁰左右．假設一愛好者和他的雪橇總質量m=75kg，沿足夠長的雪道向下滑去，已知他和雪橇所受的空氣阻力F與滑雪速度v成正比，比例系數k未知．從某時刻開始計時，測量得雪橇運動的v-t圖象如圖中的曲線AD所示，圖中AB是曲線AD在A點（坐標為0、5）的切線，切線上一點B的坐標為（4、15），CD是曲線AD的漸近線．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）請畫出人和雪橇整體在下滑過程中的受力圖．
（2）試說明人和雪橇從t=0時刻開始，下滑過程中運動的特點．
（3）求空氣阻力F與滑雪速度v的比例系數k．
（4）雪橇與雪道間的動摩擦因數μ．

Answer 1

分析：（1）人和雪橇整體在下滑過程中受到重力、支持力、空氣阻力、摩擦阻力．
（2）從圖中可以看出，人和雪橇初速度為5m/s，圖象的斜率逐漸減小，所以加速度逐漸減小到0，最后勻速運動的速度為10m/s．
（3）從AB的斜率可知，在開始運動時雪橇的加速度大小，根據牛頓第二定律列式，由AD這條漸近線可知，10m/s為其運動的收尾速度，根據平衡條件列式，聯立方程即可求得比例系數k和動摩擦因數μ．

解答：解：（1）人和雪橇整體在下滑過程中受到重力、支持力、空氣阻力、摩擦阻力．如圖所示：

（2）從圖中可以看出，人和雪橇初速度為5m/s，圖象的斜率逐漸減小，所以加速度逐漸減小到0，最后勻速運動的速度為10m/s．
所以人和雪橇先做初速度為5m/s，加速度越來越小的加速運動，當加速度減為零時，以10m/s的速度做勻速運動．
（3）從AB的斜率可知，在開始運動時雪橇的加速度大小為
a=

△v

△t

=

vt-v0

t

=

15-10

4-0

=2.5m/s²
即有mgsinθ-kv-μmgcosθ=ma   ①
由AD這條漸近線可知，10m/s為其運動的收尾速度（即勻速運動速度），
即有mgsinθ=μmgcosθ+kv_m ②
①②兩式聯立，得kv_m-kv=ma    ③
將v=5m/s、v_m=10m/s代入后得k=37.5Ns/m．
將k=37.5Ns/m代入②式解得：μ=

1

8

=0.125
答：（1）人和雪橇整體在下滑過程中受到重力、支持力、空氣阻力、摩擦阻力．如圖所示；
（2）人和雪橇先做初速度為5m/s，加速度越來越小的加速運動，當加速度減為零時，以10m/s的速度做勻速運動．
（3）求空氣阻力F與滑雪速度v的比例系數k為37.5Ns/m．
（4）雪橇與雪道間的動摩擦因數μ為0.125．

點評：本題主要考查了牛頓第二定律及運動學基本公式的直接應用，要求同學們能根據圖象得出有效信息，能根據受力情況判斷運動情況，難度適中．