Question

如圖所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側空間中存在豎直向上場強大小為E的勻強電場（上、下及左側無界）．一個質量為m、電量為q=mg/E的可視為質點的帶正電小球，在t=0時刻以大小為V₀的水平初速度向右通過電場中的一點P，當t=t₁時刻在電場所在空間中加上一如圖所示隨時間周期性變化的磁場，使得小球能豎直向下通過D點，D為電場中小球初速度方向上的一點，PD間距為L，D到豎直面MN的距離DQ為L/π．設磁感應強度垂直紙面向里為正．
（1）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件時t₁的表達式（用題中所給物理量的符號表示）
（2）若小球能始終在電場所在空間做周期性運動．則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小．
（3）當小球運動的周期最大時，在圖中畫出小球運動一個周期的軌跡．

Answer 1

當小球進入電場時：mg=Eq將做勻速直線運動
（1）在t₁時刻加入磁場，小球在時間t₀內將做勻速圓周運動，圓周運動周期為T₀
若豎直向下通過D點，由圖甲1分析可知必有以下兩個條件：
t₀=

3

4

T₀
PF-PD=R  即：V₀t₁-L=R
qV₀B₀=

m v 20

qB0

所以：V₀t₁-L=

mv0

qB0

t₁=

L

v0

+

m

qB0

 
（2）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，小球在電場中的運動的周期T增加，
在小球不飛出電場的情況下，當T最大時有：
DQ=2R   
 

L

π

=2

mv0

qB0

B₀=

2πmv0

qL

T₀=

2πR

v0

=

2πm

qB0

=

L

v0

 
由圖分析可知小球在電場中運動的最大周期：
T=8×

3

4

T0=

6L

v0

 
（3）如圖



答：（1）推出滿足條件時t₁的表達式t₁=

L

v0

+

m

qB0

；
（2）則出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小8×

3

4

T0=

6L

v0

．
（3）當小球運動的周期最大時，在圖中畫出小球運動一個周期的軌跡如上圖所示．