Question

如圖所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側空間中存在豎直向上場強大小為E=2.5×10²N/C的勻強電場（上、下及左側無界）．一個質量為m=0.5kg、電量為q=2.0×10²C的可視為質點的帶正電小球，在時刻t=0以大小為υ₀的水平初速度向右通過電場中的一點P，當t=t₁時刻在電場所在空間中加是一如右圖所示隨時間表周期性變化的磁場，使得小球能豎直向下通過D點，D為電場中小球初速度方向上一點，PD間距為L，D到豎直面MN的距離DQ為L/π，設磁感應強度垂直紙面向里為正，（g=10m/s²

（1）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件時t₁的表達式（用題中所給物理量的符號表示）．
（2）若小球能始終在電場所在空間做周期性運動，則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小．
（3）當小球運動的周期最大時，在圖中畫出小球運動一個周期的軌跡．

Answer 1

分析：（1）小球在磁場中做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力，結合牛頓第二定律與幾何關系，即可求解；
（2）根據小球做勻速圓周運動，由幾何關系與運動軌道周期的公式，即可求解；
（3）根據對小球受力分析，由受力情況來確定運動情況，從而畫出運動軌跡．

解答：解：當小球進入電場時：mg=Eq將做勻速直線運動
（1）在t₁時刻加入磁場，小球在時間t₀表內將做勻速圓周運動，圓周運動周期為T₀
若豎直向下通過D點，由圖甲分析可知必有以下兩個重要條件：t0=

3

4

T0； PF-PD=R即：υ₀t₁-L=R；
粒子運動的半徑：R=

mυ0

qB0

所以：υ₀t₁-L=

mv0

qB0

即：t1=

L

v0

+

m

qB0

 
（2）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，小球在電場中的周期T增加，在小球不飛出電場的情況下，當T最大時有：DQ=2R          

L

π

=

2Mυ0

qB0

B0=

2πR

υ0

=

2πm

qB0

=

L

υ0

；
由圖分析可知小球在電場中運動的最大周期：T=8×

3T0

4

=6

L

υ0

；
（3）由1的方向可得，當不存在磁場時，小球做勻速直線運動，當存在磁場時，小球做勻速圓周運動，所以小球運動軌跡如圖甲-2所示
答：（1）滿足條件的表達式為：t1=

L

v0

+

m

qB0

    （2）磁感應強度B0=

L

υ0

；運動的最大周期T的大小為

6L

v0

    （3）小球運動軌跡如圖甲-2所示．

點評：考查粒子在電場力與重力的勻速直線運動，及在電場力、磁場力與重力共同作用下的勻速圓周運動，掌握受力平衡的條件，理解幾何關系在題目中的應用．注意左手定則中運動的電荷的正負電性．