Question

如圖所示，一個單匝閉合圓形線圈面積為S，電阻為R，放在空間分布均勻的磁場中，且線圈平面與磁場垂直，磁場的磁感應強度B隨時間t的變化規律為B=B0sin

2π

T

t
（1）在0～T時間內，哪些時刻線圈中產生的感應電動勢最大？
（2）在

T

4

～

3T

4

時間內，通過線圈橫截面的電量是多大？
（3）在0～T時間內，線圈中所產生的熱量是多大？

Answer 1

分析：（1）作出磁通量隨著時間變化的圖象，磁通量變化最快的時刻也就是感應電動勢最大的時刻；
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律、電流定義公式聯立求解即可；
（3）正弦式交變電流，求解出感應電動勢的最大值，然后求解有效值，最后根據焦耳定律求解電熱．

解答：解：（1）線圈面積一定，B的周期性變化使穿過線圈的磁場量發生變化，Φ=B_mSsin?

2π

T

t．根據法拉第電磁感應律，ε=n

△Φ

△t

，可見電動勢最大時也就是

△Φ

△t

最大．如何確定

△Φ

△t

最大的時刻呢？我們可將Φ=B_mSsin

2π

T

t的函數關系用Φ-t圖來表示（如右圖）．在該圖上，曲線的斜率反映了

△Φ

△t

的大小．由圖可見，當t等于0、

T

2

、T時，切線的斜率最大，因此，在這些時刻線圈產生的感應電動勢最大．
（2）Φ的周期性變化使得ε、I也作周期性的變化，根據法拉第電磁感應定律和歐姆定律得：
ε=

△Φ

△t

，I=

ε

R

=

△Φ

R△t

．
而△Φ=I△t，所以△Q=

△Φ

R

．
即在△t時間內，通過導體橫截面的電量只與磁通量的初末狀態（△Φ=Φ₂-Φ₁）及導體
的電阻R有關，而與△t本身無關．
∴△Q=

△Φ

R

=

Φ2-Φ1

R

=

B0S-(-B0S)

R

=

2B0S

R

．
（3）感應電動勢的最大值為：Em=?mω=B0S

2π

T

有效電動勢為：E=

Em

2

=

B0S 2π T

2

=

2

B0S

π

T

電熱為：Q=I2RT=(

E

R

)2RT=

2π2B02S2

RT

答：（1）在0～T時間內，當t等于0、

T

2

、T時，線圈中產生的感應電動勢最大；
（2）在

T

4

～

3T

4

時間內，通過線圈橫截面的電量是

2B0S

R

；
（3）在0～T時間內，線圈中所產生的熱量是

2π2B02S2

RT

．

點評：本題關鍵是要能根據法拉第電磁感應定律求解出感應電動勢的一般表達式，可以將磁通量的變化等同于矩形線圈繞垂直勻強磁場的轉軸做勻速圓周運動的物理模型．