Question

9．一質量為m=4kg的小球從光滑的斜面上高h=4m處由靜止滑下，斜面底端緊接著一個半徑R=1m的光滑圓環，如圖所示，求：
（1）小球滑到圓環最低點B時對圓環的壓力的大小；
（2）小球至少應從多高處由靜止滑下才能越過圓環最高點？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）先根據機械能守恒求出小球通過圓環最低點時的速度，再由牛頓第二定律求出圓環對小球的支持力，即可求得小球對圓環的壓力．
（2）小球恰能通過圓軌道的最高點，重力提供向心力，根據牛頓第二定律列式；整個過程中只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律列方程；最后聯立求解即可．

解答 解：（1）小球從靜止開始到圓環頂點的過程，由機械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在圓環最低點B時，對小球，由牛頓第二定律有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數據解得：N=360N
根據牛頓第三定律得：小球滑至圓環頂點時對環的壓力：N′=N=360N
（2）設小球從離最低點高度為H的地方下滑，在軌道最高點的速度為v′，則：
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
在最高點，由重力提供向心力，有：mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$
由上兩式得：H=2.5R=2.5m；
則小球應從大于等于2.5m范圍內由靜止滑下才能使小球在圓環上做完整的圓周運動．
答：（1）小球滑到圓環最低點B時對圓環的壓力的大小是360N；
（2）小球至少應從2.5m高處由靜止滑下才能越過圓環最高點．

點評 本題關鍵是明確小球的運動規律，然后根據牛頓第二定律和機械能守恒定律列方程聯立求解；要明確小球恰好經過最高點時重力恰好提供向心力．