Question

5．天文學家在進行天文觀測的時候，發現了一顆行星在圍繞某顆恒星公轉．已知引力常量為G，行星的公轉周期為T，恒星的半徑為R，行星的公轉軌道半徑為r，求：
（1）恒星的質量；               
（2）恒星的密度（球的體積公式V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$，其中R為球的半徑）．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于向心力求出恒星的質量；
（2）根據密度公式求出恒星的質量；

解答 解：（1）根據萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得恒星的質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根據密度公式$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：（1）恒星的質量為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；               
（2）恒星的密度$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

點評 本題根據萬有引力提供圓周運動向心力展開討論，要知道已知旋轉天體的軌道半徑和周期，可求得中心天體的質量．