Question

15．我國火星探測器計劃于2020年前后由長征五號運載火箭在海南發射場發射人軌，直接送入地火轉移軌道．假設探測器到了火星附近，貼近火星表面做勻速圓周運動，現測出探測器運動的周期為T以及運行速率為v，不計周圍其他天體的影響，萬有引力常量為G．
（1）求火星的質量；
（2）設某星球的質量為M，一個質量為m的物體在離該星球球心r處具有的引力勢能公式為E_P=$\frac{GMm}{r}$（取物體離該星球無窮遠處勢能為零）．若一顆質量為m'的衛星繞火星做半徑為r₁的勻速圓周運動，后來因為需要衛星的軌道半徑變為r₂，且r₁：r₂=1：2，求該衛星變軌前后在軌道上正常運行時的機械能之比．

Answer 1

分析 （1）根據周期與線速度的關系求出半徑，再根據萬有引力提供向心力求解火星質量；
（2）根據萬有引力提供向心力公式求解星球的動能，根據引力勢能表達式求出勢能，進而求解機械能的表達式，從而求出該衛星變軌前后在軌道上正常運行時的機械能之比．

解答 解：（1）由T=$\frac{2πR}{v}$，可得火星半徑約R=$\frac{vT}{2π}$，
由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得火星的質量M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
（2）由$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得動能為：${E}_{K}=\frac{GMm}{2r}$
引力勢能：${E}_{P}=-\frac{GMm}{r}$
故物體的機械能為：$E={E}_{K}+{E}_{P}=-\frac{GMm}{2r}$
可見：$E∝\frac{1}{r}$
故衛星變軌前后在軌道上正常運行時的機械能之比：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\frac{2}{1}$
答：（1）火星的質量為$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（2）該衛星變軌前后在軌道上正常運行時的機械能之比2：1．

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應用，本題重點是要利用好給定的引力勢能，能求出機械能的表達式，難度適中．