Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探小黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統。它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。

(1)可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m′的星體(視為質點)對它的引力。設A和B的質量分別為m₁、m₂。試求m′(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v,運行周期T和質量m₁之間的關系式；

(3)恒星演化到末期。如果其質量大于太陽質量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v=2.7×10³ m/s。運行周期T=4.7π×10⁴ s。質量m₁=6m_s。試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎?

(G=6.67×10^-11 N·m₂/kg₂，m_s=2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

(1)m′=

(2)=   (3)有可能

解析：(1)設A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂。由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同。設其為ω。由牛頓運動定律，有

F_a=m₁ω²r₁

F_b=m₂ω²r₂

F_a=F_B

設A、B之間的距離為r,又r=r₁+r₂。由上述各式得

r=                            ①

由萬有引力定律。有

F_a=G

將①代入得

F_a=G

令F_a=G

比較可得：m′=            ②

(2)由牛頓第二定律，有

G=                          ③

又可見星A的軌道半徑

r₁=                              ④

由②③④式解得

=                 ⑤

(3)將m₁=6m_s代入⑤式，得

=

代入數據得

=3.5m_s              ⑥

設m₂=nm_s(n＞0)，將其代入⑥式，得

=m_s=3.5m_s    ⑦

可見，的值隨n的增大而增大，試令n=2，得

m_s=0.125m_s＜3.5m_s         ⑧

若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質量m₂必大于2m_s。結論：暗星B有可能是黑洞。