Question

如圖所示，在傾角為θ=37°的足夠長的斜面上，有質量為m₁=2kg的長木板。開始時，長木板上有一質量為m₂ =1kg的小鐵塊（視為質點）以相對地面的初速度v₀=2m/s從長木板的中點沿長木板向下滑動，同時長木板在沿斜面向上的拉力作用下始終做速度為v=1m/s的勻速運動，小鐵塊最終與長木板一起沿斜面向上做勻速運動。已知小鐵塊與長木板、長木板與斜面間的動摩擦因數均為產=0．9，重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0．6，cos37°=0．8

  試求：（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度；

（2）長木板至少多長？

（3）在小鐵塊從木板中點運動到與木板速度相同的過程中拉力的功率。

Answer 1

【答案】（1）a＝1.2 m/s²  沿斜面向上（2）7.5m（3）40.8W

解析：(1)設小鐵塊的加速度大小為a，對小鐵塊受力分析有（取沿斜面向上為正方向）

f₂－m₂gsinθ＝ma         

f₂＝μN₂                                      

     N₂＝m₂gcosθ                 

   得a＝g(μcosθ－sinθ)＝1.2 m/s²  沿斜面向上  (3’)

(2)小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終獲穩定速度v，設歷時t后小鐵塊達穩定速度，則

v－(－v₀) ＝at                  

 t＝(v₀＋v)/ g ( μcosθ－sinθ) ＝2.5s  

 t內小鐵塊位移為s₁木板位移為s₂

s₁＝ (v₀－v)t/2      方向沿斜面向下  

s₂＝vt        方向沿斜面向上          

L/2≥s₂＋s                           

 L≥2（s₂＋s）＝(v₀＋v)²/g (μcosθ－sinθ) ＝7.5m   ( 5’)

 (3) 對木板

F＝f₂＋f₁＋m ₁gsinθ        

f₁＝μN₁                                         

N₁＝(m₁＋m₂)gcosθ        

W＝F s₂                            

W=102J           ( 5’)   

另一解法：F＝f₂＋f₁＋m ₁gsinθ        

f₁＝μN₁                                         

N₁＝(m₁＋m₂)gcosθ