Question

如下圖a所示的平面坐標(biāo)系，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)充滿了勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖b所示，開始時(shí)刻，磁場方向垂直紙面向內(nèi)，時(shí)刻，有一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿軸正向進(jìn)入磁場，初速度為，已知正粒子的荷質(zhì)比為，其他有關(guān)數(shù)據(jù)見圖中標(biāo)示。試求：

（1）時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)；

（2）粒子從開始時(shí)刻起經(jīng)多長時(shí)間到達(dá)軸；

（3）粒子是否還可以返回原點(diǎn)？如果可以，則經(jīng)多長時(shí)間返回原點(diǎn)？

Answer 1

（1）粒子進(jìn)入磁場后在磁場中做圓周運(yùn)動，

設(shè)半徑為R，周期為T，由洛倫茲力提供向心力，有

，得：

又

在磁場變化的第一段時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動的周期數(shù)為：

（運(yùn)動周期）

運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為120°作出粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡如下圖a所示，第一段時(shí)間末，粒子的坐標(biāo)為：

，

所求時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)（，0.6）

（2）根據(jù)第（1）問可知，粒子在第一個(gè)磁場變化的時(shí)間段內(nèi)時(shí)，運(yùn)動了個(gè)周期，在第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動的周期數(shù)為

（個(gè)運(yùn)動周期），所對應(yīng)的運(yùn)動軌跡圓心角為60°

第三個(gè)時(shí)間段內(nèi)同樣運(yùn)動了：（個(gè)運(yùn)動周期）

對應(yīng)的圓心角為120°

粒子運(yùn)動的軌跡如下圖a所示，粒子恰好在第三段時(shí)間末通過軸

故運(yùn)動時(shí)間為

                        

（3）粒子在磁場中做周期性運(yùn)動，根據(jù)對稱性和周期性，畫出粒子的部分運(yùn)動軌跡如上圖b所示，其中、、構(gòu)成一個(gè)正三邊形，故粒子在磁場中一共運(yùn)動了6個(gè)大圓弧和3個(gè)小圓弧，故從原點(diǎn)出發(fā)到回到原點(diǎn)的總時(shí)間為