Question

如圖a所示的平面坐標系xOy，在整個區域內充滿了勻強磁場，磁場方向垂直坐標平面，磁感應強度B隨時間變化的關系如圖b所示，開始時刻，磁場方向垂直紙面向內（如圖）．t=0時刻，有一帶正電的粒子（不計重力）從坐標原點O沿x軸正向進入磁場，初速度為v₀=2×10³m/s．已知正粒子的比荷為1.0×10⁴C/kg，其它有關數據見圖中標示．試求：
（1）t=×10^-4s時刻，粒子的坐標．
（2）粒子從開始時刻起經多長時間到達y軸．
（3）粒子是否還可以返回原點？如果可以，則經多長時間返回原點？

Answer 1

分析：（1）由洛倫茲力提供向心力可以得到軌道半徑，由軌道半徑可得周期，由磁場的變化可以畫出在第一段時間內粒子的運動軌跡，由運動軌跡的幾何關系可得到粒子的坐標．
（2）依據第一問得到的結果，可以得到在第二，第三時間段內的運動軌跡，由圖可知粒子恰好在第三段時間末到達y軸，由此可得時間
（3）依據磁場變化的周期性，可知粒子的運動也存在對應的周期性，可做粒子的軌跡圖，由圖可知其返回的時間．

解答：解：（1）粒子進入磁場后在磁場中作圓周運動，設半徑為R，周期為T，由洛侖茲力提供向心力，有
qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

=

2×103×10-4

0.5

=0.4m
又：T=

2πR

v

=

2πm

qB

=

2π×10-4

0.5

=4π×10^-4s

在磁場變化的第一段時間內，粒子運動的周期數為：N =

4π 3 ×104

4π×104

=

1

3

（個運動周期） 
運動軌跡對應的圓心角為120°，作出粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示．
第一段時間末，粒子的坐標為：
x=Rcos30°=0.2

3

m，y=R+

.

O1A

sin30°=0.6m
所求時刻，粒子的坐標（0.2

3

m，0.6m） 
（2）根據第（1）問可知，粒子在第一個磁場變化的時間段內時，運動了N₁=

1

3

個周期，在第二個時間段內運動的周期數為N2=

2π 3 ×104

4π×104

=

1

6

（個周期） 
所對應的運動軌跡圓心角為60°．運動軌跡如圖所示．
第三個時間段內同樣運動了：N3=

4π 3 ×104

4π×104

=

1

3

（個周期）
對應的圓心角為120°．
粒子運動的軌跡如圖所示，粒子恰好在第三段時間末通過y軸．
故運動時間為t=

π

3

×10^-3s 
（3）粒子在磁場中作周期性運動，根據對稱性和周期性，畫出粒子的部分運動軌跡如圖，其中O₂、O₆、O₁₀構成一個正三邊形．
故粒子在磁場中一共運動了6個大圓弧和3個小圓弧，故從原點出發到回到原點的總時間為
t'=6×

4π

3

×10^-4s+3×

2π

3

×10^-4s=π×10^-3s  

答：
（1）t=×10^-4s時刻，粒子的坐標（0.2

3

m，0.6m）．
（2）粒子從開始時刻起經運動時間為t=

π

3

×10^-3s 到達y軸．
（3）粒子可以返回原點，所經歷的時間為π×10^-3s

點評：本題重點是對磁場周期性的應用，磁場的周期性一定就會由粒子運動周期性的變化，故只要得到一個周期的運動軌跡，就可以重復畫軌跡，直到得到想要的結果．本題由于粒子的運動軌跡比較復雜，故考察的難度相對較大．