Question

假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星，若該天體貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T₁，已知萬有引力常量為G，則該天體的密度是多少？若這顆衛星距該天體的表面的高度為h，測得在該處做圓周運動的周期為T₂，則該天體的密度又是多少？

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力求出天體的質量，結合天體的體積求出天體的密度．

解答：解：根據G

Mm

R2

=mR

4π2

T12

得，天體的質量M=

4π2R3

GT12

．
則天體的密度ρ=

M

V

=

4π2R3 GT12

4πR3 3

=

3π

GT12

．
若這顆衛星距該天體的表面的高度為h，測得在該處做圓周運動的周期為T₂，
根據G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T22

得，
天體的質量M=

4π2(R+h)3

GT22

．
則天體的密度ρ=

M

V

=

4π2(R+h)3 GT22

4πR3 3

=

3π(R+h)3

GT22R3

．
答：該天體的密度是

3π

GT12

．若這顆衛星距該天體的表面的高度為h，測得在該處做圓周運動的周期為T₂，則該天體的密度又是

3π(R+h)3

GT22R3

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，結合軌道半徑和周期求解中心天體的質量．