Question

如圖，質量為2m的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為3m的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態．一條不可伸長的輕繩繞過定滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤．開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向．現在掛鉤上掛一質量為2.5m的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升，已知重力加速度為g．試求：
（1）物體C在最低點時，輕繩的拉力是大于、等于或小于2.5mg？
（2）物體C下降的最大距離；
（3）物體C下降到速度最大時，地面對B的支持力多大？

Answer 1

分析：（1）當掛一質量為2.5m的物體C時，恰好能使B離開地面但不繼續上升，表示此時A和C的速度為零，說明C先做加速運動，后做減速運動，到達最低點時加速度方向向上，根據牛頓第二定律即可求解；
（2）先求出沒有掛C物體時彈簧的壓縮量，再求出彈簧的伸長量，兩者之和即為C下降的最大距離；
（3）物體C下降到速度最大時，C的加速度等于零，此時繩子的拉力等于C的重力，對A進行受力分析，此時A的加速度也等于零，進而求出彈簧的彈力，再對B進行受力分析，根據平衡條件即可求解．

解答：解：（1）當掛一質量為2.5m的物體C時，恰好能使B離開地面但不繼續上升，表示此時A和C的速度為零，說明C先做加速運動，后做減速運動，到達最低點時加速度方向向上，根據牛頓第二定律可知C物體的合力方向向上，所以繩子的拉力大于重力2.5mg；
（2）開始時，A、B靜止，設彈簧壓縮量為x₁，有
kx₁=m_lg=2mg    
掛C并釋放后，C向下運動，B向上運動，設B剛要離地時彈簧伸長量為x₂，有
kx₂=m₂g=3mg    
B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點．
所以Hc=x1+x2=

5m

k

g
（3）③物體C下降到速度最大時，C的加速度等于零，此時繩子的拉力等于C的重力，即F=2.5mg
此時 a_A=0，則F_彈=T-2mg=0.5mg
對B受力分析得：F_彈+F_N=3mg
解得：F_N=2.5mg
答：（1）物體C在最低點時，輕繩的拉力大于2.5mg；
（2）物體C下降的最大距離為

5mg

k

；
（3）物體C下降到速度最大時，地面對B的支持力為2.5mg．

點評：對于含有彈簧的問題，都要分析彈簧的狀態，彈簧通常有三種狀態：原長、伸長和壓縮，根據幾何關系研究物體上升的高度是常用的思路．