Question

3．如圖所示，地面上有一固定的小球，球面的斜上方P處有一小球，現要確定一條從P到球面的光滑斜直軌道，使小球從靜止開始沿軌道滑行到球面上經歷時間最短．

Answer 1

分析 先求證小球從豎直平面的圓頂點沿光滑軌道運動到任何方向圓外邊緣的時間相同，且求出關系式；作圖找出最短時間的運動軌道，根據三角關系求出相關的物理量，求出最短時間．

解答 解：（1）求證：如圖所示小球從豎直平面的半徑為R′的圓的頂點，沿光滑軌道運動到任何方向圓外邊緣，

任取一條軌道PQ，PQ與水平面的夾角為Φ，
由三角關系得PQ的長度為：l=2R′sinΦ
由牛頓第二定律得，沿光滑斜面下滑的加速度為：a=gsinΦ
由位移時間公式得，運動時間：t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}$即運動時間與角度無關，故對應任何軌道的時間均相同．
（2）作圖：以P為頂點作一半徑為r的球面，使其與所給球面相切與Q，如圖所示：

由（1）可知右上圓內從P點到圓的外邊緣的時間是相同的，故PQ₁、PQ₂用時均長于PQ用時，
則線段PQ即為所求的用時最短的軌道．
（3）解題：把上圖轉化如下：

∠OPO′=α，
由三角關系得：$cosα=\frac{\overline{PC}}{\overline{OP}}=\frac{H-R}{L}$
$（R+r）_{\;}^{2}={L}_{\;}^{2}+{r}_{\;}^{2}-2Lrcosα$
聯立以上兩式解得：$r=\frac{{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}}{2H}$
由（1）知，運動時間：${t}_{min}^{\;}=2\sqrt{\frac{r}{g}}=2\sqrt{\frac{\frac{{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}}{2H}}{g}}=\sqrt{\frac{2（{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}）}{Hg}}$
答：所需的最短時間為$\sqrt{\frac{2（{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}）}{Hg}}$

點評 本題很難，需要綜合運用數學知識和物理知識，對于作圖要求較高，需要準確掌握三角形相關的數學知識．