Question

（2013?福州模擬）如圖甲所示，在豎直方向存在著兩種區域：無電場區域和有理想邊界的勻強電場區域．兩種區域相互間隔出現，豎直高度均為h．電場區域共有n個，水平方向足夠長，每一電場區域場強的大小均為E，且E=mg/q，場強的方向均豎直向上．一個質量為m、電荷量為q的帶正電小球（看作質點），從第一無電場區域的上邊緣由靜止下落，不計空氣阻力．

求：（1）小球剛離開第n個電場區域時的速度大小；
（2）小球從開始運動到剛好離開第n個電場區域所經歷的總時間（可直接用數列形式表示）；
（3）若在第n個電場區域內加上水平方向的磁場，磁感應強度隨時間變化規律如圖乙所 示，已知圖象中B0=

m 2ngh

qh

，磁感應強度變化的周期T是帶電小球在磁場中作勻速圓周運動周期的2倍，問哪段時間內進入第n個電場的小球能返回到與出發點等高的位置？

Answer 1

分析：1、小球在無電場區，只受重力作用，做加速度等于重力加速度g的勻加速直線運動，小球在電場區，所受電場力等于重力，做勻速直線運動． 
所以小球在無電場區域的運動等效看成自由落體運動，根據速度位移公式vn2=2gnh，計算小球剛離開第n個電場區域時的速度．
2、小球在無電場區做勻加速直線運動，進入電場區，因為電場力和重力平衡，做勻速直線運動，根據運動學公式求出小球在無電場區域中所經歷的時間．根據自由落體運動的速度位移公式計算小球在第1、第2、第3、…第n個電場區運動的速度，從而計算出各段運動的時間，把各段時間求和即可．
3、當在第n個電場區域內加上方向垂直豎直平面的磁場時，電場力與重力平衡，帶電小球僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動．
在0～

T

2

時間內進入復合場中的帶電小球，B1qvn=

mvn2

r1

，解得r1=

mvn

qB1

=

m 2ngh

0.5qB0

=2h
在

T

2

～T時間內進入復合場中的帶電小球，B2qvn=

mvn2

r2

，解得r2=

mvn

qB2

=

m 2ngh

qB0

=h
只有在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T時間段內進入復合場中的帶電小球，運動

1

4

T后沿豎直方向進入第n個無電場區，根據動能定理：
-mgh′=0-

1

2

mvn2，解得h′=nh．

解答：解：（1）小球在無電場區，只受重力作用，做加速度等于重力加速度g的勻加速直線運動，小球在電場區，所受電場力等于重力，做勻速直線運動． 
小球在無電場區域的運動等效看成自由落體運動，位移為nh，則小球剛離開第n個電場區域時的速度，根據速度位移公式vn2=2gnh
解得vn=

2ngh

（2）小球在無電場區運動的總時間T₁
nh=

1

2

gT12
T1=

2nh g

設小球在第1、第2、第3、…第n個電場區運動的速度分別為v₁、v₂、v₃-----、v_n；
v12=2gh　　　　　         v1=

2gh

v22=2g(2h)=4gh          v2=

4gh

v32=2g(3h)=6gh          v3=

6gh

…
vn2=2gnh                　vn=

2ngh

小球在第1、第2、第3、--------第n個電場區運動的時間分別為t₁、t₂、t₃…、t_n；
小球在電場區運動的總時間T₂：
T₂=t₁+t₂+t₃+…+t_n       
=

h

v1

+

h

v2

+

h

v3

+…+

h

vn

=h(

1

v1

+

1

v2

+

1

v3

+…+

1

vn

)
=h(

1

2gh

+

1

4gh

+

1

6gh

+…+

1

2ngh

)
=

h 2g

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
設小球從開始運動到剛好離開第n個電場區域所經歷的總時間T
T=T₁+T₂
T=

2nh g

+

h 2g

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
（3）當在第n個電場區域內加上方向垂直豎直平面的磁場時，電場力與重力平衡，帶電小球僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動．
在0～

T

2

時間內進入復合場中的帶電小球，洛倫茲力提供向心力B1qvn=

mvn2

r1

，
解得r1=

mvn

qB1

=

m 2ngh

0.5qB0

=2h
在

T

2

～T時間內進入復合場中的帶電小球，洛倫茲力提供向心力B2qvn=

mvn2

r2

解得r2=

mvn

qB2

=

m 2ngh

qB0

=h
只有在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T時間段內進入復合場中的帶電小球，運動

1

4

T后沿豎直方向進入第n個無電場區，根據動能定理：
-mgh′=0-

1

2

mvn2
解得h′=nh
所以在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T時間段內進入第n個電場的小球能返回到與出發點等高的位置．

點評：解決本題的關鍵理清小球在無電場區和電場區的運動規律，運用運動學公式進行求解．