Question

20．如圖所示，一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切于C點，且兩者固定不動．一長L為0.8m的細繩，一端固定于O點，另一端系一個質量m₁為0.2kg的小球．當小球在豎直方向靜止時，球對水平桌面的作用力剛好為零．現將球提起使細繩處于水平位置時無初速釋放．當小球m₁擺至最低點時，細繩恰好被拉斷，此時小球m₁恰好與放在桌面上的質量m₂為0.8kg的小球正碰，碰后m₁以2m/s的速度彈回，m₂將沿半圓形軌道運動．兩小球均可視為質點，取g=10m/s²．求：
（1）細繩所能承受的最大拉力為多大？
（2）m₂在半圓形軌道最低點C點的速度為多大？
（3）為了保證m₂在半圓形軌道中運動時不脫離軌道，試討論半圓形軌道的半徑R應該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）應用機械能守恒定律求出小球的速度，應用牛頓第二定律可以求出繩子的拉力．
（2）兩球碰撞過程系統動量守恒，應用動量守恒定律可以求出小球的速度．
（3）應用牛頓第二定律與機械能守恒定律求出軌道半徑，然后確定半徑范圍．

解答 解：（1）設小球m₁擺至最低點時速度為v₀，
由機械能守恒定律，得：m₁gL=$\frac{1}{2}$m₁v₀²，解得：v₀=4m/s，
小球m₁在最低點時，由牛頓第二定律，得：
F_T-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，解得：F_T=6N；
（2）m₁與m₂碰撞，動量守恒，選向右的方向為正方向，
由動量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂，解得：v₂=1.5 m/s；                                      
（3）①若小球m₂恰好通過最高點D點，
由牛頓第二定律得：m₂g=m₂$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{1}}$，
m₂在CD軌道上運動時，由機械能守恒定律，得：
$\frac{1}{2}$m₂v₂²=m₂g•2R₁+$\frac{1}{2}$m₂v_D²，解得：R₁=0.045 m．
②若小球恰好到達圓軌道與圓心等高處速度減為0，則有：
$\frac{1}{2}$m₂v₂²=m₂gR₂，解得：R₂=0.1125m，
綜上：R應該滿足R≤0.045 m或R≥0.1125m                     
答：（1）細繩所能承受的最大拉力為6N；
（2）m₂在半圓形軌道最低點C點的速度為1.5m/s；
（3）為了保證m₂在半圓形軌道中運動時不脫離軌道，半圓形軌道的半徑R應該滿足的條件是：R≤0.045 m或R≥0.1125m．

點評 本題主要考查了動量守恒、機械能守恒定律、向心力公式的應用，要知道小球恰好通過最高點時，由重力提供向心力；分析清楚小球的運動過程是解題的前提與關鍵．