Question

5．某雙星系統，兩天體質量分別為M與m，兩天體球心間距離為L，已知萬有引力恒量為G，
（1）求該雙星系統的周期
（2）求質量為M的天體的線速度．

Answer 1

分析 （1）雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進一步計算軌道半徑大小；據萬有引力提供向心力計算出周期．
（2）由$v=\frac{2πr}{T}$即可求出線速度．

解答 解：（1）設行星轉動的角速度為ω，周期為T．
（1）對星球M，由向心力公式可得：
   $\frac{GMm}{{L}^{2}}$=Mω²R₁
同理對星m，有：$\frac{GMm}{{L}^{2}}$=mω²R₂
兩式相除得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{m}{M}$，（即軌道半徑與質量成反比）
又因為L=R₁+R₂
所以得 R₁=$\frac{mL}{M+m}$，R₂=$\frac{ML}{M+m}$
有上式得到ω=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{G（M+m）}{L}}$
因為T=$\frac{2π}{ω}$，所以T=2πL$\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$
（2）M的線速度：v=$\frac{2π{R}_{1}}{T}$=$m•\sqrt{\frac{G}{G（M+m）}}$
答：（1）該雙星系統的周期是$\sqrt{\frac{L}{G（M+m）}}$
（2）質量為M的天體的線速度是$m•\sqrt{\frac{G}{G（M+m）}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握雙星模型系統，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．