Question

如圖1所示，平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端放著垂直金屬板的靶MN．現在A、B板上加上如圖2所示的方波形電壓，t=0時A板比B板的電勢高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現有質量為m的帶正電且電量為q的粒子束從AB的中點O以平行于金屬板的方向OO′先后射入．設粒子能全部打在靶MN上，而且所有粒子在AB間的飛行時間均為T，不計重力影響，試問：

（1）在距離靶MN的中心O′點多遠的范圍內有粒子擊中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足的條件？
（3）電場力對每個擊中O′點的帶電粒子做的總功是多少？

Answer 1

分析：（1）根據粒子在電場中做曲線運動，由水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻變速運動，并根據運動學公式，即可求解；
（2）由第（1）問結果，根據偏轉位移小于等于間距的一半，即可求解；
（3）根據電場力做功相等，即可求解．

解答：解：（1）粒子在電場中運動時，水平方向始終作勻速直線運動，豎直方向作勻變速運動．
當粒子在t=nT時刻進入電場向下的側移最大．
先向下勻加速運動位移s1=

1

2

qu0

md

(

2T

3

)2，
此時速度為v1=at1=

quo

md

?

2T

3

．
然后向下勻減速運動位移s2=v1t2-

1

2

a

t

2 2

=(

quo

md

?

2T

3

)?

T

3

-

1

2

qu0

md

(

T

3

)2
所以：粒子向下的最大側位移為s=s1+s2=

7u0qT2

18md

當粒子在t=nT+

2T

3

時刻進入電場向上側移最大．先向上勻加速運動后向上勻減速運動，再向下勻減速運動．
所以粒子打在靶子上時向上的最大側位移為s/=

1

2

qu0

md

(

T

3

)2=

qu0T2

18md

所以：在距靶子中心O′點下方

7u0qT2

18md

至上方

qu0T2

18md

范圍內有粒子擊中．
（2）要使粒子能全部打在靶子上需滿足的條件為：

7u0qT2

18md

≤

d

2

，
化簡得：uo≤

9md2

7qT2

 
（3）當粒子出電場時，電場力對所有的粒子做的功都相同，為W=

1

2

m

v

2 y

=

q2T2 u 2 0

18md2

答：（1）在距靶子中心O′點下方

7u0qT2

18md

至上方

qu0T2

18md

范圍內有粒子擊中；
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足的條件：uo≤

9md2

7qT2

 ；
（3）電場力對每個擊中O′點的帶電粒子做的總功是

q2T2 u 2 0

18md2

．

點評：考查粒子做曲線運動時，如何將運動進行分解處理，理解分運動的等時性，掌握運動學公式的應用，并知道做功的表達式及其正負．