Question

（2007?揚州模擬）如圖1所示，平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直金屬板的靶 MN．現在A、B板上加上如圖2所示的方波形電壓，t=O時A板比B板的電勢高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現有由質量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點O以平行于金屬板方向OO′的某一初速射入．設粒子能全部打在靶MN上，而且所有粒子在AB間的飛行時間均為T，不計重力影響，試問：

（1）在距靶MN的中心O′點多遠的范圍內有粒子擊中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足什么條件？（寫出U₀，m、d、q，T的關系式即可）．
（3）電場力對每個擊中靶MN的帶電粒子所做的總功是否相等？若相等，請證明并求出此功的數值；若不相等，求出此功的數值范圍．

Answer 1

分析：根據粒子在電場力作用下，依據牛頓第二定律，與運動學公式，即可求解．

解答：解：（1）當粒子由t=nT（n=0，1，2，…）時刻進入電場，側向位移最大，且向下偏
s₁=

qU0

2 dm

×（

2T

3

）²+（

qU0

md

×

2T

3

）×

T

3

-

1

2

qU0

md

（

T

3

）²=

7U0qT2

18md

當粒子由t=nT+

2T

3

（n=0，1，2，…）時刻進入電場，側向位移最大，且向上偏
s₂=

1

2

qU0

md

（

T

3

）²=

U0qT2

18dm

在距靶MN的中心O′點下方

7U0qT2

18md

至上方

U0qT2

18dm

范圍內有粒子擊中．
（2）由上可得，s₁=

7U0qT2

18md

≤

d

2

解得：U₀≤

9d2m

7qT2

．
（3）電場力對所有粒子做的功都相同，為W=

1

2

mv_y²=

1

2

m（

qU0

md

×

T

3

）²=

U0q2T2

18d2m

．
答：（1）距靶MN的中心O′點下方

7U0qT2

18md

至上方

U0qT2

18dm

范圍內有粒子擊中；
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足U₀≤

9d2m

7qT2

．條件．
（3）電場力對每個擊中靶MN的帶電粒子所做的總功是相等，此功的數值

U0q2T2

18d2m

．

點評：考查粒子力電綜合解題，掌握處理的方法，理解牛頓第二定律與運動學公式的應用．