Question

18．半徑為R的半圓形區域內充滿勻強磁場，磁場方向與半圓形區域垂直．在半圓形的圓心O處持續射出垂直磁場方向的一定速率范圍的電子，電子質量為m，電量為e，出射方向與半圓直徑的夾角θ=45°，如圖（a）所示．控制電子速率，使其不能穿出半圓形的圓弧部分．

（1）在此條件下要使這些電子在磁場中達到的區域最大，請判斷磁場的方向（按圖說明是“垂直紙面向里”或“垂直紙面向外”）；
（2）在答題紙（a）圖上畫出滿足（1）條件下的電子經過的所有區域（并用斜線表示）；
（3）若勻強磁場的磁感應強度為B，在滿足（2）的條件下，求電子的速率范圍；
（4）若在圓心O處持續射入一定速率范圍的電子與半圓的直徑的夾角θ可以在0°到180°范圍連續可調，磁感應強度B隨電子的最大速率變化而變化，要使這些電子在磁場中達到的區域最大，電子的出射方向與半圓直徑的夾角應為多大？在（b）圖上畫出電子的速率v與磁感應強度B應滿足的v-B圖線，并在B軸上標識出最大速度v_m時，對應的B值．

Answer 1

分析 （1）電子在磁場中向左偏轉時，電子在磁場中到達的區域最大，由左手定則判斷磁場方向；
（2）電子在磁場中做勻速圓周運動，根據電子運動軌跡作圖；
（3）洛倫茲力提供電子做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律求出電子速率；
（4）電子做勻速圓周運動，分析清楚電子運動過程，應用牛頓第二定律求出磁感應強度，然后答題．

解答 解：（1）要使這些電子在磁場中能達到的區域大，電子必須逆時針方向轉動，
根據左右定則可知，磁場方向為垂直紙面向外． 
（2）電子在磁場中做勻速圓周運動，電子在磁場中到達的區域最大，
電子應沿逆時針方向轉動，電子經過的區域如圖所示：

（3）最大速率的電子運動的軌跡恰好與半圓形磁場區域的圓弧部分相切，
如上圖所示，由幾何知識可知，其軌跡半徑：r=$\frac{1}{2}$R，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
ev_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{r}$，解得：v_m=$\frac{eBR}{2m}$，
所以電子的速率范圍是：0≤v≤$\frac{eBR}{2m}$；
（4）當電子運動的軌跡恰好與半圓形磁場區域的圓弧頂部相切時，
這些電子在磁場中達到的區域最大，此時，軌跡圓心在O點正上方$\frac{1}{2}$R處，
電子的出射方向與半圓直徑的夾角為0°．
電子在磁場中達到的區域如圖（c）所示：


由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
可得電子的速率v與磁感應強度B應滿足的關系式：v=$\frac{eR}{2m}$B，
由于e、R、m均為常數，所以電子的速率v與磁感應強度B成正比，圖線如圖（b）所示：

答：（1）要使這些電子在磁場中達到的區域最大，磁場的方向：垂直紙面向外；
（2）如圖所示；
（3）若勻強磁場的磁感應強度為B，在滿足（2）的條件下，電子的速率范圍是：0≤v≤$\frac{eBR}{2m}$；
（4）要使這些電子在磁場中達到的區域最大，電子的出射方向與半圓直徑的夾角應為0°，如圖所示．

點評 本題考查了電子在磁場中的運動，分析清楚電子運動過程、應用左手定則是解題的關鍵，分析清楚電子運動過程后作出電子運動軌跡，應用牛頓第二定律可以解題．