Question

14．豎直平面內有一半徑為r、電阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬環，在M、N處與距離為2r、電阻不計的平行光滑金屬導軌ME、NF相接，E、F之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場Ⅰ和Ⅱ，磁感應強度大小均為B．現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從圖中半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，設平行導軌足夠長．已知導體棒下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處時的速度大小為v₂．
求：
（1）求導體棒ab從A處下落$\frac{r}{2}$時的加速度大小；
（2）若導體棒ab進入磁場Ⅱ后棒中電流大小始終不變，求磁場Ⅰ和Ⅱ之間的距離h和R₂上的電功率P₂；
（3）當CD邊界在某一位置時，導體棒ab進入磁場恰好能做勻速直線運動．若再將磁場Ⅱ的CD邊界略微下移，已知此時導體棒ab剛進入磁場Ⅱ時的速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式．

Answer 1

分析 （1）導體棒受到重力和安培力的作用，注意此時導體棒的有效切割長度和外電路的串并聯情況．
（2）導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，說明導體棒勻速運動，導體棒在下落h的過程中做勻變速直線運動，根據運動規律可求出下落距離h，根據并聯電路可知R₂上消耗的功率占整個電路的$\frac{3}{4}$，總電功率等于導體棒重力功率．
（3）正確進行受力分析，注意安培力的表達式，然后根據牛頓第二定律求解即可．

解答 解：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，
導體棒ab從A下落 0.5r時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，
由牛頓第二定律，得：mg-BIL=ma，
式中L=$\sqrt{3}$r，I=$\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{總}}$
當導體棒ab下落0.5r時，由幾何關系可知，棒ab以上的圓弧的長度是半圓的總長度的$\frac{2}{3}$，
所以ab以上的部分，電阻值是8R，ab以下的部分的電阻值是4R+4R，
式中：R_總=$\frac{8R×（4R+4R）}{8R+4R+4R}$=4R
由以上各式可得到：a=g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$
故導體棒ab從A下落 0.5r時的加速度大小為：a=g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$．
（2）當導體棒ab通過磁場Ⅱ時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，
即：mg=BI×2r=B×$\frac{B•2r•vt}{{R}_{并}}$×2r=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}{v}_{t}}{{R}_{并}}$
式中：R_并=$\frac{12R•4R}{12R+4R}$=3R
解得：v_t=$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{r}^{2}}$，
導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有v_t²-v₂²=2gh，
得：h=$\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$
此時導體棒重力的功率為：P_G=mgv_t=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$，
根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率，
即P_電=P₁+P₂=P_G=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
所以，P₂=$\frac{3}{4}$P_G=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$．
（3）設導體棒ab進入磁場Ⅱ后經過時間t的速度大小為v′_t，此時安培力大小為：F′=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}v{′}_{t}}{3R}$
由于導體棒ab做勻加速直線運動，有：v′_t=v₃+at
根據牛頓第二定律，有：F+mg-F′=ma
即：F+mg-$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}（{v}_{3}+at）}{3R}$=ma
由以上各式解得：F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}a}{3R}$t+$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}{v}_{3}}{3R}$+m（a-g）；
答：（1）導體棒ab從A處下落$\frac{r}{2}$時的加速度大小為g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$．
（2）若導體棒ab進入磁場Ⅱ后棒中電流大小始終不變，磁場Ⅰ和Ⅱ之間的距離h為$\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$，R₂上的電功率P₂為$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$；
（3）所加外力F隨時間變化的關系式為F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}a}{3R}$t+$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}{v}_{3}}{3R}$+m（a-g）．

點評 本題考查了關于電磁感應的復雜問題，對于這類問題一定要做好電流、安培力、運動情況、功能關系這四個方面的問題分析．