Question

10．如圖所示，離地面某高處有一圓管豎直放置，質量M=2kg，管長L=2.2m．一個質量m=1kg的小球從圓管頂端靜止釋放，先保持圓管靜止不動，小球在管內下落高度h=1m時獲得的速度為v=4m/s．從此刻開始，對管施加一個豎直向下、大小為F=10N的恒定拉力，使管開始向下運動．已知小球在管內運動過程圓管一直在空中運動，小球在管內所受的滑動摩擦力大小處處相同，不計空氣阻力，取g=10m/s²．求：
（1）小球在管內所受的滑動摩擦力大小．
（2）小球從釋放到最終脫離圓管經歷的總時間．

Answer 1

分析 （1）管保持靜止過程，對球根據牛頓第二定律分別求出加速度，結合運動學公式求出球所受的摩擦力；
（2）分別對管和球進行分析，由運動學公式可求得時間；

解答 解：（1）管保持靜止過程，對球
mg-f=ma…①
    ${v}_{\;}^{2}=2ah$…②
代入數據解得球所受摩擦力大小
        f=2N…③
（2）管靜止時球的運動時間為t₁，有
     $v=a{t}_{1}^{\;}$…④
管受力運動后，有
$F+Mg+f=M{a}_{1}^{\;}$…⑤
設經過數據${t}_{2}^{\;}$與球達到共速且未與球分離，有
${a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}=v+a{t}_{2}^{\;}$…⑥
此過程球在管中下降高度為
  $h′=\frac{v+{v}_{t}^{\;}}{2}{t}_{2}^{\;}-\frac{{v}_{t}^{\;}}{2}{t}_{2}^{\;}$…⑦
代入數據解得
h’=1m…⑧
因為h+h′=2m＜L，所以球與管未分離    
共速后對管和球，分別有
  $F+Mg-f=M{a}_{2}^{\;}$…⑨
  mg+f=ma′⑩
經時間t₃球從管的頂端脫離，有
  $h+h′=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{3}^{2}-\frac{1}{2}a′{t}_{3}^{2}$…⑪
代入數據解得${t}_{3}^{\;}=1.4$s
球在管內運動總時間
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=2.4s…⑫
答：（1）小球在管內所受的滑動摩擦力大小2N．
（2）小球從釋放到最終脫離圓管經歷的總時間2.4s

點評 本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關鍵通過計算理清球和管的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．