Question

2．如圖所示，地球球心為O，半徑為R表面的重力加速度為g．一宇宙飛船繞地球無動力飛行且沿橢圓軌道運動，軌道上P點距地心最遠，距離為3R為研究方便，假設地球不自轉且忽略空氣阻力，則（　　）

• A． 飛船在P點的加速度一定是$\frac{g}{9}$
• B． 飛船經過P點的速度小于$\sqrt{\frac{gR}{3}}$
• C． 飛船經過P點的速度一定是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$
• D． 飛船經過P點時，對準地心彈射出的物體一定沿PO直線落向地面

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力求出飛船在P點做圓周運動的速度，結合變軌的原理確定P點的速度大小．根據牛頓第二定律和萬有引力等于重力求出飛船在P點的加速度．根據合速度的方向判斷物體是否沿PO直線運動．

解答 解：A、根據牛頓第二定律得，飛船在P點的加速度a=$\frac{G\frac{Mm}{（3R）^{2}}}{m}=\frac{GM}{9{R}^{2}}$，又GM=gR²，則飛船在P點的加速度a=$\frac{g}{9}$，故A正確．
B、若飛船在P點做圓周運動，根據$G\frac{Mm}{（3R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{3R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{3R}}$，又GM=gR²，則v=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，因為從P點進入圓軌道，需加速，可知飛船在P點的速度小于$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，故B正確，C錯誤．
D、船經過P點時，對準地心彈射出的物體，由于物體具有慣性，沿P點的切線方向有分速度，根據平行四邊形知，初始合速度的方向不指向O，物體不會沿PO直線運動，故D錯誤．
故選：AB．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用，難度不大．