Question

如圖所示，兩平行金屬板A、B長8cm，兩板間距離d=8cm，A板比B板電勢高300V，一帶正電的粒子電荷量q=10^-10C，質量m=10^-20kg，沿電場中心線RO垂直電場線飛入電場，初速度v₀=2×10⁶m/s，粒子飛出平行板電場后經過界面MN、PS間的無電場區域后，進入固定在O點的點電荷Q形成的電場區域，（設界面PS右邊點電荷的電場分布不受界面的影響），已知兩界面MN、PS相距為12cm，D是中心線RO與界面PS的交點，O點在中心線上，距離界面PS為9cm，粒子穿過界面PS最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏bc上．（靜電力常數k=9.0×10⁹N?m²/C²），求：
（1）粒子穿過界面MN時偏離中心線RO的距離多遠？此時粒子的速度大小是多少？
（2）粒子到達PS界面時離D點多遠？
（3）確定點電荷Q的電性并求其電荷量大小的某一可能值．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子垂直進入勻強電場后，只受電場力，做類平拋運動，在MN、PS間的無電場區域做勻速直線運動，界面PS右邊做圓周運動，最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏bc上，根據運動情況即可畫出圖象． 根據運動學公式與牛頓第二定律，即可求解．
（2）帶電粒子垂直進入勻強電場后，只受電場力，做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻加速直線運動．由牛頓定律求出加速度，由運動學公式求出粒子飛出電場時的側移h，由幾何知識求解粒子穿過界面PS時偏離中心線RO的距離．
（3）由運動學公式求出粒子飛出電場時速度的大小和方向．粒子穿過界面PS后將繞電荷Q做勻速圓周運動，由庫侖力提供向心力，由幾何關系求出軌跡半徑，再牛頓定律求解Q的電量．

解答：解：（1）帶電粒子垂直進入勻強電場后，只受電場力，做類平拋運動，在MN、PS間的無電場區域做勻速直線運動，界面PS右邊做圓周運動，最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏bc上，圖象如圖所示：

粒子穿過界面MN時偏離中心線RO的距離：y=

1

2

at2=

qU

2md

(

L

v0

)2
代入數據，可解得：y=0.03m=3cm
帶電粒子到達a處時，帶電粒子的水平速度：
v_x=v₀=2×10⁶m/s，
豎直速度v_y=at=

qU

md

t=1.5×10⁶m/s
所以合速度大小為v=

v 2 x + v 2 y

=2.5×106m/s
（2）粒子穿過界面MN時偏離中心線RO的距離（側向位移）：
y=

1

2

at² 
a=

F

m

=

eU′

md

，
 l=v₀t
y=

1

2

at²=

qU

2md

（

L

v0

）²=0.03m=3cm       
帶電粒子在離開電場后將做勻速直線運動，其軌跡與PS線交于a，設a到中心線的距離為Y．         
又由相似三角形得

L

l 2 +L

=

y

Y

Y=4y=12cm 
（3）帶電粒子到達a處時，帶電粒子的水平速度：v_x=υ₀=2×10⁶m/s 
豎直速度：所以 υ_y=at=1.5×10⁶m/s，
v_合=2.5×10⁶m/s          
該帶電粒子在穿過界面PS后將繞點電荷Q作勻速圓周運動．所以Q帶負電．根據幾何關系：半徑r=15cm 
k

Qq

r2

=m

v2

r

解得：Q=1.04×10^-8C 
答：（1）粒子穿過界面MN時偏離中心線RO的距離3cm，此時粒子的速度大小是2.5×10⁶m/s；
（2）則粒子穿過界面MN時偏離中心線RO的距離為3cm；到達PS界面時離D點12cm；
（3）Q帶負電，電荷量為Q=1.04×10^-8C．

點評：本題是類平拋運動與勻速圓周運動的綜合，分析粒子的受力情況和運動情況是基礎．難點是運用幾何知識研究圓周運動的半徑．