Question

9．如圖1所示是游樂場中過山車的實物圖片，可將過山車的一部分運動過程簡化為圖2的模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=8.0m，該光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37^o斜軌道面上的Q點，圓形軌道的最高點A與傾斜軌道上的P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現使小車（視作質點）從P點以一定的初速度沿斜面向下運動，小車經過P點的初速度v₀=12m/s．不計空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點A處，則：

（1）小車在A點的速度為多大？
（2）小車在圓形軌道運動時對軌道的最大壓力為重力的多少倍？
（3）斜軌道面與小車間的摩擦力為小車對軌道壓力的多少倍？

Answer 1

分析 （1）小車恰 好通過最高點，故重力充當向心力，則可求得A點的速度；
（2）根據機械能守恒定律可求得B點的速度，再根據向心力公式即可求得B點的支持力，再由牛頓第三定律可求得壓力大小；
（3）由幾何關系可求得PQ間的距離，對PA過程，由動能定理列式即可求得摩擦力大小，由力的合成和分解可求得壓力，則可求得摩擦力與壓力的關系．

解答 解：
（1）設小車經過A點時的最小速度為v_A，根據牛頓第二定律有
mg=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$
v_A=4$\sqrt{5}$m/s
（2）小車從Q點沿圓周運動的過程中機械能守恒，在圓周的最低點（設為B點）時，對軌道的壓力最大，設小車經過此位置的速度為v_B，依據機械能守恒定律，則有
$\frac{1}{2}$mv_A²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
設軌道在最低點給小車的支持力為F_B，根據牛頓第二定律有
F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得F_B=6mg
依據牛頓第三定律可知，球對軌道的作用力F_B'=6mg
即小車在圓形軌道運動時對軌道的最大壓力為重力的6倍．
（3）設PQ間距離為L，L=$\frac{R（1+cosθ）}{sinθ}$
設小車從P點到A點的運動過程中受到的摩擦力為f，由動能定理得
-fL=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²
小車對軌道壓力F_壓=mgcosθ
解得$\frac{f}{{F}_{壓}}$=$\frac{1}{6}$
答：（1）小車在A點的速度為4$\sqrt{5}$m/s；
（2）小車在圓形軌道運動時對軌道的最大壓力為重力的6倍；
（3）斜軌道面與小車間的摩擦力為小車對軌道壓力的$\frac{1}{6}$倍．

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律和動能定理，關鍵是理清運動的過程，運用合適的規律進行求解；同時注意應用最高點的臨界條件，明確向心力公式的正確應用．