Question

20．據報道，首次在太陽系外發現“類地”行星Kepler-186f．若宇航員乘坐宇宙飛船到達該行星，進行科學觀測：該行星自轉周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個小球（引力視為恒力），落地時間為t，已知該行星半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的第一宇宙速度；
（2）該行星的平均密度；
（3）如果該行星存在一顆同步衛星，其距行星表面高度．

Answer 1

分析 （1）根據自由落體運動的位移時間公式求出行星表面的重力加速度，結合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度；
（2）根據萬有引力等于重力求出行星的質量，結合密度公式求出行星的平均密度；
（3）根據萬有引力提供向心力，求出行星同步衛星的軌道半徑，從而得出衛星距離行星的高度．

解答 解：（1）根據h=$\frac{1}{2}$gt²得行星表面的重力加速度為：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
根據mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$解得行星的第一宇宙速度為：v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（2）根據mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$得行星的質量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則行星的平均密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$；
（3）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$ （R+h），
解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R；
答：（1）該行星的第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（2）該行星的平均密度為$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$；
（3）如果該行星存在一顆同步衛星，其距行星表面高度為$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．