Question

14．如圖所示，質量為m=5kg的長木板放在水平地面上，在木板的最右端放一質量也為m=5kg的物塊A．木板與地面間的動摩擦因數μ₁=0.3，物塊與木板間的動摩擦因數μ₂=0.2．現用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由靜止開始勻加速運動．經過t=1s，撤去拉力．設物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力（g取10m/s²）求：
（1）撤去拉力時，木板的速度大小．
（2）要使物塊不從木板上掉下，木板的長度至少多大．
（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距板右端多遠處．

Answer 1

分析 （1）對整體運用牛頓第二定律，求出加速度，判斷物塊與木板是否相對滑動，對物塊和系統分別運用動量定理求出拉力撤去時，長木板的速度；
（2）從撤去拉力到達到共同速度過程，對物塊和長木板分別運用動量定理求出撤去拉力后到達到共同速度的時間${t}_{1}^{\;}$，分別求出撤去拉力前后物塊相對木板的位移，從而求出木板的長度
（3）對木板和物塊，根據動能定理求出物塊和木板的相對位移，再由幾何關系求出最終停止的位置．

解答 解：（1）若在時間t=1s內，物塊與長木板一起運動，加速度為a，則有：
$F-2{μ}_{1}^{\;}mg=2ma$…①
物塊受合外力$f=ma＞{μ}_{2}^{\;}mg$…②
說明物塊在長木板上發生了相對滑動，設撤去F時，長木板的速度為${v}_{1}^{\;}$，滑塊速度為${v}_{2}^{\;}$，由動量定理可知：
對物塊，有${μ}_{2}^{\;}mgt=m{v}_{2}^{\;}$…③
對系統，有$（F-2{μ}_{1}^{\;}mg）t=m{v}_{1}^{\;}+m{v}_{2}^{\;}$…④
代入數據解得：${v}_{1}^{\;}=4m/s$，${v}_{2}^{\;}=2m/s$
拉力撤去時，長木板的速度大小為4m/s
（2）設撤去拉力后，經時間${t}_{1}^{\;}$，兩者獲得共同速度為v，由動量定理可知，
對物塊，有${μ}_{2}^{\;}mg{t}_{1}^{\;}=mv-m{v}_{2}^{\;}$…⑤
對長木板，有$-2{μ}_{2}^{\;}mg{t}_{1}^{\;}-{μ}_{1}^{\;}mg{t}_{1}^{\;}=mv-m{v}_{1}^{\;}$…⑥
將${v}_{1}^{\;}$和${v}_{2}^{\;}$的數值代入解得：${t}_{1}^{\;}=0.2s$，v=2.4m/s
在t=1s內，物塊相對于長木板的位移${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{2}t=1m$…⑦
在t=0.2s內，物塊相對于長木板的位移${s}_{2}^{\;}=（{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}）\frac{{t}_{1}^{\;}}{2}=0.2m$…⑧
木板的長度最小值為$L={s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}=1.2m$
（3）滑塊與木板有了共同速度后，在摩擦力作用下均做減速運動，物塊相對于木板向右運動，木板和物塊先后停下，設木板位移為${x}_{1}^{\;}$，物塊位移為${x}_{2}^{\;}$，由動能定理得
$（{μ}_{2}^{\;}mg-2{μ}_{1}^{\;}mg）{x}_{1}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$…⑨
$-{μ}_{2}^{\;}mg{x}_{2}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$…⑩
這段時間內物塊相對于木板的位移${s}_{3}^{\;}={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=0.72m$
物塊最終離板右端的距離$d={s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}-{s}_{3}^{\;}=0.48m$
答：（1）撤去拉力時，木板的速度大小4m/s．
（2）要使物塊不從木板上掉下，木板的長度至少1.2m
（3）在滿足（2）的條件下，物塊最終將停在距板右端0.48m處．

點評 本題綜合性很強，涉及到物理學中重要考點，如牛頓第二定律、動能定理、動量定理、運動學公式，關鍵是明確木板和木塊的運動規律和受力特點．