Question

如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道ABC與傾角為θ=37°的粗糙斜面軌道DC相切于C，圓軌道的直徑AC與斜面垂直．質量為m的小球從A點左上方距A高為h的斜面上方P點以某一速度水平拋出，剛好與半圓軌道的A點相切進入半圓軌道內側，之后經半圓軌道沿斜面剛好滑到與拋出點等高的D處．已知當地的重力加速度為g，取R=

50

9

h，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計空氣阻力，求：
（1）小球被拋出時的速度v₀；
（2）小球到達半圓軌道最低點B時，對軌道的壓力大小；
（3）小球從C到D過程中摩擦力做的功W．

Answer 1

（1）小球到達A點時，速度與水平方向的夾角為θ，如圖所示．
則有 

v

21

=2gh  ①
由幾何關系得 v₀=v₁cotθ  ②
得 v0=

4

3

2gh

  ③
（2）A、B間豎直高度H=R（1+cosθ）④
設小球到達B點時的速度為v，則從拋出點到B過程中，根據機械能守恒有 
  

1

2

m

v

20

+mg(H+h)=

1

2

mv2 ⑤
在B點，有 FN-mg=m

v2

R

⑥
聯立解得 F_N=5.6mg⑦
由牛頓第三定律知，小球在B點對軌道的壓力大小是F_N′=F_N=5.6mg，方向豎直向下．             ⑧
（3）整個運動知過程中，重力做功為零，根據動能定理得知：小球沿斜面上滑過程中摩擦力做的功等于小球做平拋運動的初動能，有
   W=

1

2

m

v

20

=

16

9

mgh  ⑨
答：（1）小球被拋出時的速度v₀是

4

3

2gh

．
（2）小球到達半圓軌道最低點B時，對軌道的壓力大小是5.6mg，方向豎直向下．
（3）小球從C到D過程中摩擦力做的功W是

16

9

mgh．