Question

某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車(chē)比賽，比賽路徑如圖所示．可視為質(zhì)點(diǎn)的賽車(chē)從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直半圓軌道，并通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)C，才算完成比賽．B是半圓軌道的最低點(diǎn)，水平直線軌道和半圓軌道相切于B點(diǎn)．已知賽車(chē)質(zhì)量m=0.5kg，通電后以額定功率P=2w工作，進(jìn)入豎直圓軌道前受到的阻力恒為F_f=0.4N，隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不計(jì)，L=10.00m，R=0.32m，（g取10m/s²）．求：
（1）要使賽車(chē)完成比賽，賽車(chē)在半圓軌道的B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力至少多大？
（2）要使賽車(chē)完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作多長(zhǎng)時(shí)間t？
（3）若電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為t₀=5s，當(dāng)R為多少時(shí)賽車(chē)既能完成比賽且飛出的水平距離又最大，水平距離最大是多少？

Answer 1

分析：（1）物體恰好通過(guò)最高點(diǎn)，意味著在最高點(diǎn)是軌道對(duì)滑塊的壓力為0，即重力恰好提供向心力，這樣我們可以求出v_C，在從B到C的過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)僅受重力和軌道的支持力，而軌道的支持力不做功，共可以根據(jù)動(dòng)能定理求出物體在B的速度，在B點(diǎn)根據(jù)支持力和重力的合力提供向心力得出物體在B點(diǎn)所受的支持力；
（2）物體從A向B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所拉力和摩擦力，由動(dòng)能定理結(jié)合額定功率、阻力及位移可求出電動(dòng)機(jī)至少工作時(shí)間．
（3）從A到C運(yùn)用動(dòng)能定理，從C落地運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而由數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求出賽車(chē)既能完成比賽且飛出的最大半徑與最遠(yuǎn)距離．

解答：解：（1）當(dāng)賽車(chē)恰好過(guò)C點(diǎn)時(shí)在B點(diǎn)對(duì)軌道壓力最小，
賽車(chē)在C點(diǎn)對(duì)有：mg=

m v 2 C

R

  
解得vC=

gR

…①
對(duì)賽車(chē)從B到C由機(jī)械能守恒得：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

+mg?2R…②
賽車(chē)在B處；FN-mg=m

v 2 B

R

…③
由牛頓第三定律； 壓力 F=F_N 
聯(lián)立以上得：vB=

5gR

=4m/s  
 F=6mg=30N  
（2）對(duì)賽車(chē)從A到B由動(dòng)能定理得：
 Pt-FfL=

1

2

m

v

2 B

-0          
 解得：t=4s    
（3）對(duì)賽車(chē)從A到C由動(dòng)能定理得：Pt0-FfL-mg?2R=

1

2

m

v

2 0

    
賽車(chē)飛出C后有：豎直方向2R=

1

2

gt2       水平方向x=v₀t    
解得：x=

-16(R2- 3 5 R)

所以   當(dāng)R=0.3m時(shí)x最大，x_max=1.2m  
答：（1）要使賽車(chē)完成比賽，賽車(chē)在半圓軌道的B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力至少為30N；
（2）要使賽車(chē)完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作時(shí)間4s；
（3）若電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為t₀=5s，當(dāng)R為0.3m時(shí)賽車(chē)既能完成比賽且飛出的水平距離又最大，水平距離最大是1.2m．

點(diǎn)評(píng)：本題是力電綜合問(wèn)題，關(guān)鍵要將物體的運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)過(guò)程，分析清楚各個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和受力特點(diǎn)，然后根據(jù)動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)公式、向心力公式列式求解！物體恰好通過(guò)C點(diǎn)是本題的突破口，這一點(diǎn)要注意把握．