Question

如圖所示，質量為m可看作質點的小球從靜止開始沿斜面由A點滑到B點后，進入與斜面圓滑連接的

1

4

豎直圓弧管道

BC

，管道出口為C，圓弧半徑R=15cm，AB的豎直高度差h=35cm．在緊靠出口C處，有一水平放置且繞其水平軸線勻速旋轉的圓筒（不計筒皮厚度），筒上開有小孔D，筒旋轉時，小孔D恰好能經過出口C處．若小球射出C口時，恰好能接著穿過D孔，并且還能再從D孔向上穿出圓筒，小球返回后又先后兩次向下穿過D孔而未發生碰撞．不計摩擦和空氣阻力，取g=10m/s²，問：
（1）小球到達C點的速為多少度v_c為多少？
（2）圓筒轉動的最大周期T？
（3）在圓筒以最大周期T轉動的情況下，要完成上述運動圓筒的半徑R′必須為多少？

Answer 1

分析：（1）對小球從A→C，運用根據機械能守恒定律求出小球到達C點的速度．
（2）小球向上穿出圓筒所用時間是轉動周期的奇數倍，小球從離開圓筒到第二次進入圓筒所用時間是圓筒周期的整數倍，根據豎直上拋運動的時間求出周期的通項，即可求得最大周期．
（3）根據周期的表達式求出最大周期，從而求出在圓筒內豎直上升的位移，即半徑的2倍，根據該關系求出圓筒的半徑．

解答：解（1）對小球從A→C由機械能守恒定律得：mgh=mgR+

1

2

m

v

2 0

代入數值解出 v₀=2m/s    
（2）如圖所示，小球向上穿出圓筒所用時間為t₁
則t₁=

2k-1

2

T  （k=1，2，3…）     

小球從離開圓筒到第二次進入圓筒所用時間為2t₂．
2t₂=nT  （n=1，2，3…）          
對小球由C豎直上拋的上升階段，由速度公式得：
 0=v₀-g（t₁+t₂）
聯立解得 T=

0.4

2k+n-1

s            
當n=k=1時，T_max=0.2s           
（3）對小球在圓筒內上升的階段，由位移公式得：
  2R′=v₀t₁-

1

2

g

t

2 1

代入數值解得 R′=0.075m
答：
（1）小球到達C點的速為多少度v_c為2m/s．
（2）圓筒轉動的最大周期T是0.2s．
（3）在圓筒以最大周期T轉動的情況下，要完成上述運動圓筒的半徑R′必須為0.075m．

點評：解決本題的關鍵要抓住圓筒轉動的周期性，以及豎直上拋運動的時間與圓筒轉動時間的關系，再運用運動學公式求解．