Question

在半徑R=5 000km的某星球表面，宇航員做了如下實驗，實驗裝置如圖甲所示．豎直平面內的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質量m=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點由靜止滑下，用力傳感器測出小球經過C點時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應的F大小，F隨H的變化關系如圖乙所示．求：

（1）圓軌道的半徑及星球表面的重力加速度．
（2）該星球的第一宇宙速度．
（3）從軌道AB上高H處的某點由靜止釋放小球，要使小球不脫離軌道，H的范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球對軌道C點的壓力與H的關系式，然后結合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運動的速度相等，根據萬有引力等于重力提供向心力，求出該星球的第一宇宙速度．
（3）小球到C點時具有最小速度，此時重力提供向心力，對軌道壓力為零，此時高度為最小高度．

解答：解：（1）小球過C點時滿足：
F+mg=m

vC2

r

由動能定理：
mg(H-2r)=

1

2

m

v

2 c

聯立解得：
F=

2mg

r

H-5mg
由圖可知：
H₁=0.5 m時F₁=0；H₂=1.0 m時F₂=5 N；
可解得g=5 m/s²；r=0.2 m
（2）由mg=m

v2

R

解得：
v=

gR

=5×103m/s
（3）小球到C點時具有最小速度，此時重力提供向心力，對軌道壓力為零，此時高度為最小高度．
由圖可知，壓力為零時，高度為0.5m．
故釋放高度范圍為：H≥0.5m
答：（1）圓軌道的半徑及星球表面的重力加速度g=5 m/s²．（2）該星球的第一宇宙速度v=5×10³m/s．（3）從軌道AB上高H處的某點由靜止釋放小球，要使小球不脫離軌道，H的范圍為H≥0.5m．

點評：本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，解決本題的關鍵根據該規律得出壓力F與H的關系式．