Question

2007年10月31日，我國將“嫦娥一號”衛星送入太空，經過3次近月制動，衛星于11月7日順利進入環月圓軌道．在不久的將來，我國宇航員將登上月球，屆時“嫦娥號”飛船將進入繞月飛行的圓形軌道a，如圖，當飛船運動至A點時啟動登月艙進入橢圓軌道b，到B點實現著陸，（橢圓軌道的一個焦點在月球中心，A、B分別為與軌道a和月球表面相切點）．已知月球質量為M，半徑為R，軌道a半徑為r，萬有引力常量為G．試求：
（1）飛船繞月飛行的周期T_a；
（2）登月艙由軌道a進入軌道b時，在A點應啟動發動機，向前噴氣還是向后噴氣？從A點到B點的時間是多少？

Answer 1

（1）設飛船的質量為m，由萬有引力提供向心力，得：
G

Mm

r2

=m

4π2

T 2a

r     
 解得：Ta=2π

r3 GM

    
（2）登月艙由軌道a進入軌道b做向心運動，應減速，故向前噴氣．
    設登月艙從A點到B點的時間為t，由開普勒第三定律：

r3

T a2

=

( R+r 2 )3

(2t)2

  
 解得：t=

π

2

(R+r)3 2GM