Question

2007年10月31日，我國(guó)將“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星送入太空，經(jīng)過3次近月制動(dòng)，衛(wèi)星于11月7日順利進(jìn)入環(huán)月圓軌道．在不久的將來，我國(guó)宇航員將登上月球，屆時(shí)“嫦娥號(hào)”飛船將進(jìn)入繞月飛行的圓形軌道a，如圖，當(dāng)飛船運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)時(shí)啟動(dòng)登月艙進(jìn)入橢圓軌道b，到B點(diǎn)實(shí)現(xiàn)著陸，（橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)在月球中心，A、B分別為與軌道a和月球表面相切點(diǎn)）．已知月球質(zhì)量為M，半徑為R，軌道a半徑為r，萬(wàn)有引力常量為G．試求：
（1）飛船繞月飛行的周期T_a；
（2）登月艙由軌道a進(jìn)入軌道b時(shí)，在A點(diǎn)應(yīng)啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)，向前噴氣還是向后噴氣？從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：本題先考慮飛船為何繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后用萬(wàn)有引力提供向心力列方程求飛船周期，再利用開普勒第三定律求時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)飛船的質(zhì)量為m，由萬(wàn)有引力提供向心力，得：
G

Mm

r2

=m

4π2

T 2 a

r     
 解得：Ta=2π

r3 GM

    
（2）登月艙由軌道a進(jìn)入軌道b做向心運(yùn)動(dòng)，應(yīng)減速，故向前噴氣．
    設(shè)登月艙從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間為t，由開普勒第三定律：

r3

T a 2

=

( R+r 2 )3

(2t)2

  
 解得：t=

π

2

(R+r)3 2GM

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，開普勒定律的應(yīng)用．