Question

（2012?景德鎮(zhèn)模擬）如圖所示，在y軸右側(cè)平面內(nèi)存在方向向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0、5T，坐標(biāo)原點(diǎn)O有一放射源，可以向y軸右側(cè)面內(nèi)沿各個(gè)方向放射比荷

q

m

=4×106C/Kg的正離子，這些正離子的速率分別在零到vmax=2×106m/s的范圍內(nèi)，不計(jì)離子之間的相互作用．
（1）求離子打到y(tǒng)軸上的范圍
（2）若在某時(shí)刻沿+x方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過t=

5π

3

×10-7s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．
（3）若從某時(shí)刻開始向y軸右側(cè)各個(gè)方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過t=

5π

3

×10-7s時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積．

Answer 1

分析：（1）由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律即可求解；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的周期與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求出圓心角，從而由幾何關(guān)系可確定位置坐標(biāo)，由數(shù)學(xué)推導(dǎo)確定構(gòu)成的曲線方程；
（3）根據(jù)以上條件，結(jié)合圓的面積公式可求出進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積．

解答：解：（1）洛倫茲力提供向心力，則有：Bqvm=m

v 2 m

R

解得：R=1m  
則離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0-2m
（2）由周期公式可得，T=

2πm

qB

=π×10-6s
設(shè)這些離子經(jīng)過t=

5

3

π×10-7s時(shí)，其軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為 θ．    
 θ=

2πt

T

=

π

3

令t時(shí)刻離子所在位置坐標(biāo)為（x，y），
則x=rsinθ；  
y=r（1-cosθ）
y=

3

3

x(0≤x≤

3

2

)
（3）t時(shí)刻已進(jìn)入磁場(chǎng)的區(qū)域，其面積
為S=

5

12

πR2+

1

6

πR2-

1

2

R×

3

2

R=(

7

12

π-

3

4

)m2
答：（1）求離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0-2m；
（2）若在某時(shí)刻沿+x方向放射各種速率的離子，則經(jīng)過t=

5π

3

×10-7s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程y=

3

3

x(0≤x≤

3

2

)
（3）若從某時(shí)刻開始向y軸右側(cè)各個(gè)方向放射各種速率的離子，則經(jīng)過t=

5π

3

×10-7s時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積為(

7

12

π-

3

4

)m2．

點(diǎn)評(píng)：本題掌握牛頓第二定律、向心力公式、洛倫茲力公式、勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期公式，并結(jié)合幾何關(guān)系與數(shù)學(xué)推導(dǎo)來進(jìn)行解題．