Question

如圖左所示，邊長為l和L的矩形線框aa′、bb′互相垂直，彼此絕緣，可繞中心軸O₁O₂轉動，將兩線框的始端并在一起接到滑環C，末端并在一起接到滑環D，C、D彼此絕緣．通過電刷跟C、D連接．線框處于磁鐵和圓柱形鐵芯之間的磁場中，磁場邊緣中心的張角為45°，如圖右所示（圖中的圓表示圓柱形鐵芯，它使磁鐵和鐵芯之間的磁場沿半徑方向，如圖箭頭所示）．不論線框轉到磁場中的什么位置，磁場的方向總是沿著線框平面．磁場中長為l的線框邊所在處的磁感應強度大小恒為B，設線框aa′和bb′的電阻都是r，兩個線框以角速度ω逆時針勻速轉動，電阻R=2r．
（1）求線框aa′轉到圖右位置時感應電動勢的大小；
（2）求轉動過程中電阻R上的電壓最大值；
（3）從線框aa′進入磁場開始，作出0～T（T是線框轉動周期）時間內通過R的電流i_R隨時間變化的圖象；
（4）求外力驅動兩線框轉動一周所做的功．

Answer 1

（1）由題，線框轉到磁場中的任何位置時，磁場的方向總是沿著線框平面，則線框切線感線的速度方向始終與磁感線垂直，則感應電動勢的大小E=2Blv=2Blω

L

2

=BlLω．
（2）線框轉動過程中，只有一個線框進入磁場切割磁感線作為電源，另一個線框與外接電阻R并聯后作為外電路，則電源的內阻為r，外電路總電阻為R_外=

Rr

R+r

=

2

3

r，故R兩端的電壓最大值為：
   U_R=IR_外=

E

r+ 2 3 r

?

2

3

r=

2

5

BlLω
（3）aa′和bb′在磁場中，通過R的電流大小相等，
    i_R=

UR

R

=

2

5

BlLω?

1

2r

=

BlLω

5r

．
從線框aa′進入磁場開始，每轉45°，即

T

8

周期時間，電流發生一次變化，作出電流的圖象如圖所示．
（4）每個線框作為電源時，電路中總電流為：
    I=

E

R外+r

=

E

2 3 r+r

=

3E

5r

，提供的總功率為P=EI=

3E2

5r

=

3(BlLω)2

5r

根據能量轉化和守恒定律得：
    W_外=4P?

T

8

=P?

T

2

=P?

π

ω

=

3πB2l2L2ω

5r

答：（1）線框aa′轉到圖右位置時感應電動勢的大小為BlLω．；
（2）轉動過程中電阻R上的電壓最大值

2

5

BlLω；
（3）從線框aa′進入磁場開始，在0～T時間內通過R的電流i_R隨時間變化的圖象如圖所示；
（4）外力驅動兩線框轉動一周所做的功為

3πB2l2L2ω

5r

．