Question

7．進入21世紀，低碳環保，注重新能源的開發與利用的理念，已經日益融入生產、生活之中，某節水噴灌系統如圖所示，噴口距地面的高度h=1.8m，能沿水平方向旋轉，噴口離轉動中心的距離a=1.0m水可沿水平方向噴出，噴水的最大速率v₀=10m/s，每秒噴出水的質量m₀=7.0kg．所用的水是從井下抽取的，井中水面離地面的高度H=3.2m，并一直保持不變．水泵由電動機帶動，電動機電樞線圈電阻r=5.0Ω．電動機正常工作時，電動機的輸入電壓U=220V，輸入電流I=4.0A．不計電動機的摩擦損耗，電動機的輸出功率等于水泵所需要的最大輸入功率．水泵的輸出功率與輸入功率之比稱為水泵的抽水效率．（計算時π取3，球體表面積公式S=4πr²）試求：
（1）假設系統總是以最大噴水速度工作，求水泵的抽水效率η；
（2）假設系統總是以最大噴水速度工作，在某地區將太陽能電池產生的電能直接供該系統使用，根據以下數據求所需太陽能電池板的最小面積S_min．
（已知：太陽光傳播到達地面的過程中大約有30%的能量損耗，太陽輻射的總功率P₀=4×10²⁶W，太陽到地球的距離R=1.5×10¹¹m，太陽能電池的能量轉化效率約為15%．）

Answer 1

分析 （1）水泵的抽水效率η等于水泵的輸出功率與輸入功率之比．水泵的輸入功率等于電動機的輸出功率，水泵的輸出功率使水獲得機械能的功率．
（2）設電池板最小面積S_min，接收太陽能的功率：P=$\frac{{p}_{0}}{4π{R}^{2}}$，電池板接收太陽能轉化為電能的功率，根據能量守恒列式求解太陽能電池板的最小面積s_min

解答 解：（1）電動機的輸入功率為：P_電=UI=220×4.0W=880W
電動機的熱功率為：P_熱=I²r=4.0²×5.0W=80W
水泵的輸入功率等于電動機的輸出功率為：P_入=P_電-P_熱=800W
水泵的輸出功率為：P_出=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{mg（H+h）}{t}$  其中m=m₀t
求得：P_出=700W
水泵效率為：η=$\frac{{p}_{出}}{{p}_{入}}$×100%=87.5%
（2）電池板最小面積S_min接收太陽能的功率為：P=$\frac{{p}_{0}}{4π{R}^{2}}$×70%×Smin
電池板接收太陽能轉化為電能的功率為：P_電=UI=P×15%
聯立以上二式得：Smin≈5.7m²
答：（1）假設系統總是以最大噴水速度工作，水泵的抽水效率η是87.5%；
（2）所需太陽能電池板的最小面積s_min為5.7m²．

點評 本題運用平拋運動和能量守恒定律分析和解決實際問題，抓住能量是如何轉化是解題的關鍵