Question

2．如圖甲所示，電阻不計的光滑平行金屬導軌相距L=0.5m，上端連接R=0.5Ω的電阻，下端連著電阻不計的金屬卡環，導軌與水平面的夾角θ=30°，導軌間虛線區域存在方向垂直導軌平面向上的磁場，其上、下邊界之間的距離s=1Om，磁感應強 度B-t圖如圖乙所示．長為L且質量為m=0.5kg的金屬棒ab的電阻不計，垂直導 軌放置于距離磁場上邊界d=2.5m處，在t=O時刻由靜止釋放，棒與導軌始終接觸良 好，滑至導軌底端被環卡住不動．g取10m/s²，求：

（1）棒運動到磁場上邊界的時間；
（2）棒進人磁場時受到的安培力及棒從進入磁場到運動至卡環的時間；
（3）在0-5s時間內電路中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）棒從靜止釋放到剛進磁場的過程中做勻加速運動，由牛頓第二定律求出加速度，由運動學位移公式求解時間；
（2）由速度公式求出棒剛進磁場時的速度v，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL結合，求解安培力；金屬棒進入磁場后做勻速直線運動，由運動學公式求運動至導軌底端的時間．
（3）根據安培力與重力沿斜面向下的分力關系，分析可知棒做勻速直線運動，即可求出棒運動到導軌底端的時間．棒被卡住后磁場開始均勻變化，根據法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由焦耳定律求解焦耳熱．

解答 解：（1）棒從靜止釋放到剛進磁場的過程中做勻加速運動，由牛頓第二定律得：
   mgsinθ=ma
得：a=gsinθ=10×sin30°=5m/s²
由運動學公式：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 得：
  t=$\sqrt{\frac{2d}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2.5}{5}}$s=1s
（2）棒剛進磁場時的速度 v=at=5×1=5m/s
由法拉第電磁感應定律有：E=BLv
而 I=$\frac{E}{R}$、F_安=BIL
得：安培力F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{{1}^{2}×0．{5}^{2}×5}{0.5}$N=2.5N
因為F_安=mg sinθ=2.5 N，所以金屬棒進入磁場后做勻速直線運動，
運動至導軌底端的時間為：t₁=$\frac{s}{v}$=$\frac{10}{5}$s=2 s
（3）由圖可知，棒被卡住1s后磁場才開始均勻變化．
由法拉第電磁感應定律：E₁=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B•Ls}{△t}$=1×0.5×10V=5V
所以在0-5s時間內電路中產生的焦耳熱為：Q=Q₁+Q₂
其中 Q₁=$\frac{{E}^{2}}{R}$t₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$t₁=$\frac{{1}^{2}×0．{5}^{2}×{5}^{2}}{0.5}$×2J=25 J       Q₂=$\frac{{E}_{1}^{2}}{R}$t₂=$\frac{{5}^{2}}{0.5}$×1J=50 J   
 所以Q=75J
答：
（1）棒運動到磁場上邊界的時間是1s；
（2）棒進人磁場時受到的安培力是2.5N，棒從進入磁場到運動至卡環的時間是2s；
（3）在0-5s時間內電路中產生的焦耳熱是75J．

點評 本題根據牛頓第二定律和運動學公式結合分析棒的運動情況，關鍵是求解安培力．當棒被卡住后磁場均勻變化，回路中產生恒定電流，由焦耳定律求解熱量．